Հոդվածներ

5.5. Բաժին ( mathbb {Z} _ {b} ) - Մաթեմատիկա


Հաջորդ արդյունքը խաղ փոխողն է: Այն մեզ ասում է, որ կա եզակի տարր (a ^ {- 1} ), այնպես որ (aa ^ {- 1} = _ {b} 1 ), եթե և միայն, եթե (a ) կրճատված է մնացորդների հավաքածու (մոդուլ (b )): Այսպիսով, բաժանումը լավ սահմանված է մնացորդների մոդուլի (b ) կրճատված հավաքածուի մեջ: Օղակը գումարման և դրա հակադարձ հանման գումարած բազմապատկման կառույց է, բայց որտեղ բազմապատկումը կարող է հակադարձ չունենալ: Այս հանրահաշվական կառուցվածքի ավելի մանրամասն նկարագրությունը տրված է Բաժնում ??, (1 ) և (- 1 ) թվերը միշտ մնացորդների կրճատված մոդուլում են (b ): Այս բազմությունը երբեմն կոչվում է միավորների բազմություն (տե՛ս Սահմանում ??) ( mathbb {Z} _ {b} ) - ի:

Առաջարկ 5.16

Եկեք ( mathbb {R} ) մնացորդների կրճատված մոդուլ լինի (b ): Հետո

  1. յուրաքանչյուր (a in mathbb {R} ) - ի համար կա մի եզակի (a ') ( mathbb {R} ) այնպիսի, որ (a′a = _ {b} aa ′ = _ {b} 1 )
  2. յուրաքանչյուրի համար (a notin mathbb {R} ) գոյություն չունի (x mathbb {Z} _ {b} ) այնպիսի, որ (ax = _ {b} 1 )
  3. թույլ տվեք ( mathbb {R} = {x_ {i} } _ {i = 1} ^ { varphi (b)} ), ապա նաև ( mathbb {R} = {x-1 ) } _ {i = 1} ^ { varphi (b)} ):
Ապացույց

Հայտարարություն 1: Լուծման առկայությունը անմիջապես բխում է Be ́zout’s Lemma- ից, այն է ՝ (a ′ = _ {b} x ) լուծում է (x ) - ի համար (ax + by = 1 ): Այս լուծումը պետք է լինի ( mathbb {R} ) - ում, քանի որ (a ), իր հերթին, լուծում է (a′x + by = 1 ) և, այդպիսով, Be Bezout's Lemma ենթադրում է, որ ( gcd (a ', b) = 1 ): Ենթադրենք, որ մենք ունենք երկու լուծում (ax = _ {b} 1 ) և (ay = _ {b} 1 ), ապա եզակիությունը հետևում է չեղարկման թեորեմ 2.7-ին `այս հավասարումների տարբերությանը:

Հայտարարություն 2: Հիպոթեզով, ( gcd (a, b)> 1 ): Մենք ունենք, որ (ax = _ {b} 1 ) համարժեք է (ax + by = 1 ), ինչը հակասում է Be ́zout’s Lemma- ին:

Հայտարարություն 3: Սա նման է Lemma 5.3-ին: Ըստ (1) -ի, մենք գիտենք, որ բոլոր հակադարձումները գտնվում են (R ) - ում: Այսպիսով, եթե հայտարարությունը կեղծ է, ապա պետք է լինի (R ) - ի երկու տարր: Այսպիսով, եթե հայտարարությունը կեղծ է, ապա պետք է լինեն (R ) - ի երկու տարր `նույն հակադարձմամբ. (Ax = _ {b} cx ): Չեղարկումով դա անհնար է:

Լեմա 5.17

Եկեք (p ) պարզ լինի: Հետո (a ^ 2 = _ {p} 1 ) եթե և միայն եթե (a = _ {p} pm 1 )

Ապացույց

Մենք ունենք

[a ^ 2 = _ {p} 1 Leftrightarrow a ^ {2} -1 = _ {p} (a + 1) (a-1) = _ {p} 0 Leftrightarrow p | (a + 1) (a-1) nonumber ]

Քանի որ (p ) պարզունակ է, 2.12 եզրակացությունն ասում է, որ կա'մ (p | a + 1 ) (և այսպես (a = _ {p} -1 )), կամ (p | a-1 ) ( և այսպես (a = _ {p} +1 )):

Գուցե, զարմանալիորեն, այս վերջին լեման կեղծ է, եթե (p ) պարզ չէ: Օրինակ, (4 ^ 2 = _ {15} 1 ), բայց (4 ne _ {15} pm 1 ):

5.18 թեորեմ (Վիլսոնի թեորեմ)

Եթե ​​ (p ) պարզվում է ( mathbb {Z} ) - ով, ապա ((p-1)! = _ {P} -1 ): Եթե ​​ (b ) կոմպոզիտային է, ապա ((b-1)! Ne _ {b} -1 )

Ապացույց

Սա ճիշտ է (p = 2 ) - ի համար: Եթե ​​ (p> 2 ), ապա 5.16 (3) և Lemma 5.17 դրույթները ենթադրում են, որ ((p-1)! ) Ապրանքի յուրաքանչյուր գործոն (a_ {i} !) Բացի (- 1 ) - ից: ) կամ (1 ) ունի իրենից տարբերվող եզակի հակադարձ (a_ {i} '): Գործոնները (a_ {i} ') ուղիղ մեկ անգամ անցնում են բոլոր գործոններով (2 ) մինչև (p-2 ): Այսպիսով, արտադրանքի մեջ մենք կարող ենք յուրաքանչյուր (a_ {i} ) տարբերվող ( երեկոյան 1 ) -ից իր հակադարձով: Սա տալիս է

[(p-1)! = _ {p} (+1) (- 1) prod a_ {i} a_ {i} '= _ {p} -1 nonumber ]

Երկրորդ մասն ավելի հեշտ է: Եթե ​​ (b ) կոմպոզիտային է, ապա (1 ) - ից մեծ են (a ) և (b ) մեծ մնացորդները, որպեսզի (գովազդ = _ {b} 0 ): Այժմ կամ մենք կարող ենք ընտրել (a ) և (b ) հստակ և այնուհետև ((b-1)! ) Պարունակում է արտադրանքը (գովազդ ), և այդպիսով այն հավասար է զրոյական ռեժիմի (b): Կամ այլապես սա անհնարին է և (b = a ^ 2 ): Բայց հետո դեռ ( gcd ((b-1) !, b) ge a ): Be ́zout- ով մենք պետք է ունենանք ((b-1)! ) Mod (b ) պետք է լինի (a ) - ի բազմապատիկը:

Վիլսոնի թեորեմը կարող է օգտագործվել թվի առաջնայնությունը ստուգելու համար (n ): Այնուամենայնիվ, սա տանում է (n ) բազմապատկումներ, որոնք գործնականում ավելի թանկ են, քան (n ) ( sqrt {n} ) - ից փոքր թվերի բաժանելու փորձերը: Այնուամենայնիվ, նկատի ունեցեք, որ եթե ցանկանում եք հաշվարկել բոլոր պրիմների ցուցակը (1 ) և (N ) միջև, Վիլսոնի թեորեմը կարող է օգտագործվել շատ ավելի արդյունավետ: ((K-1)! = _ {K} ) հաշվելուց հետո պարզելու համար, թե (k ) պարզ է, թե տևում է միայն (1 ) բազմապատկում և (1 ) բաժանում ՝ (k +1 ) պարզ է:

Ահա այն վերցնելը, որը կարևոր կլինի Գլուխի համար ??, Մասնավորապես, մենք ունենք հետեւյալ արդյունքը.

Վերջաբան 5.19

Եկեք (p ) պարզ լինի:

Յուրաքանչյուր (a in mathbb {Z} _ {p} ) համար կա մի եզակի (a ′ = _ {p} -a ), ինչպիսին (a + a ′ = _ {p} 0 )

Յուրաքանչյուր (a in mathbb {Z} _ {p} ) և (a ne 0 ) համար կա մի եզակի (a ′ = a ^ {- 1} ) այնպես, որ (aa ′ = _ {P} 1 ):

Ավելացումը և բազմապատկումը լավ սահմանված են ( mathbb {Z} _ {b} ) (տես վարժություններ 5.1 և 5.2): Այսպիսով, երբ (p ) պարզ է, մենք կարող ենք ավելացնել, բազմապատկել, հանել և բաժանել ( mathbb {Z} _ {p} ): Գլխի խոսքերով ??, երբ (p ) պարզ է, ապա ( mathbb {Z} _ {p} ) դաշտ է: Հետաքրքիր փաստ է, որ նույնը ճիշտ չէ կոմպոզիտային թվերի համար (b ): Ըստ 5.16 առաջարկի, մեզ անհրաժեշտ է մնացորդների կրճատված բազմություն, որպեսզի բազմապատկումն անշրջելի լինի: Միևնույն ժամանակ, որպեսզի բազմությունը փակվի բազմապատկման ներքո, մեզ պետք է բոլորը ( mathbb {Z} _ {b} ) (մտածեք (1 + 1 + կետեր)): Այսպիսով, ( mathbb {Z} _ {b} ) գործառնությունների գումարումը և բազմապատկումը համագործակցում են միմյանց հետ միայն այն դեպքում, երբ (b ) պարզունակ է:


Քանակի մեջ եղած տարրերի քանակը զանգում է $ mathbb Z_5 [x] $ և $ mathbb Z_ [x] $

ա) Քանի՞ տարր ունի $ displaystyle frac < mathbb Z_5 [x]> < langle x ^ 2 + 1 rangle> $ գործակիցը:

Ես տեսնում եմ, որ բազմանդամը, $ displaystyle p (x) = x ^ 2 + 1 = (x-2) (x-3) $ իջեցվում է $ 5 $ ամբողջ թվերի մոդուլի վրա, բայց չի կարող առաջ անցնել:

Որտեղ բազմանդամն անվերադարձելի էր $ 11 $ ամբողջ թվերի մոդուլի համար:

Ես նայեցի որոշ լուծումների, որոնք ասում են, որ այս գործակիցի օղակը կլինի $ ax + b $ տիպ, և ապա մենք ունենք $ 11 $ ընտրություն երկու և յուրաքանչյուրի համար $ 121 $ տարրերից յուրաքանչյուրի համար:

Ես չէի կարող հետևել, թե ինչու են տարրերը կազմելու $ ax + b $ ձև: Խնդրում եմ բացատրեք:


Հնդկաստանի տեխնոլոգիական ինստիտուտի մաթեմատիկայի ամբիոն Roorkee, Roorkee, 247667, Հնդկաստան

* Համապատասխան հեղինակ ՝ Ամիտ Շարմա

Ստացվել է 2017-ի հոկտեմբեր Վերանայված 2018-ի մարտ Հրապարակված է 2018-ի սեպտեմբեր

Այս հոդվածում մենք ուսումնասիրում ենք շեղ-ցիկլային կոդերի դաս, օգտագործելով շեղված բազմանդամ օղակ $ R = mathbb- ի վրա_4 + u mathbb_4u ^ 2 = 1 $, $ θ $ ավտոմորֆիզմով և $ δ_θ $ ածանցյալով: Մենք ընդհանրացնում ենք ցիկլային կոդերի հասկացությունը ածանցյալով շեղ-ցիկլային կոդերի և անվանում այնպիսի կոդեր, ինչպիսիք են $ δ_θ $ - ցիկլային կոդերը: Շեղված բազմանդամ օղակի $ R [x, θ, որոշ հատկություններ <δ_θ>] $ ներկայացված է: Ապացուցված է, որ $ δ_θ $ - ցիկլային ծածկագիրը ձախ $ R [x, θ, <δ_θ>] $ - $ frac- ի ենթամոդուլ<δ_θ>]> < langle x ^ n-1 rangle> $. Ներկայացված է $ n_ $ հավասար $ երկարությամբ ցիկլային անվճար կոդերի հավասարության ստուգման մատրիցի ձև: Այս կոդերը հետագայում ընդհանրացված են ՝ $ δ_θ $ ցիկլային կոդերը կրկնապատկելու համար $ R $ - ից: $ Mathbb- ից մենք ձեռք ենք բերել մի քանի նոր լավ ծածկագրեր_4 $ գորշ պատկերների և այս կոդերի մնացորդային կոդերի միջոցով: Ստացված նոր ծածկագրերը հաղորդվել են և ավելացվել են $ mathbb տվյալների բազայում_4 $ - ծածկագրեր [2]:

Հղումներ

M. Araya, M. Harada, H. Ito և K. Saito, Z4 կոդերի դասակարգման մասին, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 11 (2017), 747-756: doi ՝ 10.3934 / amc.2017054: Google Scholar

N. Aydin and T. Asamov, Z4 կոդերի շտեմարան, J. սանր. Ինֆ. Սիստ. Գիտ., 34 (2009), 1-12: Google Scholar

M. Bhaintwal, Skew քվազիկ ցիկլային կոդերը Galois օղակների վրա, Des. Կոդեր Cryptogr., 62 (2012), 85-101: doi ՝ 10.1007 / s10623-011-9494-0: Google Scholar

I. F. Blake, ծածկագրեր որոշակի օղակների վրա, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 20 (1972), 396-404: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (72) 90223-9: Google Scholar

I. F. Blake, ամբողջ թվով մնացորդային օղակների ծածկագրեր, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 29 (1975), 295-300: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (75) 80001-5: Google Scholar

W. Bosma, J. J. Cannon, C. Fieker and A. Steel, մագմայի ֆունկցիաների ձեռնարկ, Հրատարակություն, 2 (2010), 5017 էջ: Google Scholar

Դ. Բուչեր և Ֆ. Ուլմեր, ծածկագրում են թեք բազմանդամ օղակներով, Սիմվոլիկ հաշվարկի J.., 44 (2009), 1644-1656: doi ՝ 10.1016 / j.jsc.2007.11.008: Google Scholar

D. Boucher, W. Geiselmann and F. Ulmer, Skew ցիկլային կոդեր, Դիմում Հանրահաշիվ Engrg. Կոմ. Հաշվել, 18 (2007), 379-389: doi ՝ 10.1007 / s00200-007-0043-z. Google Scholar

Դ. Բուչեր և Ֆ. Ուլմեր. Կոդերը որպես մոդուլներ ճեղքված բազմանդամ օղակների վրա, Proc- ում: ի 12 տ IMA միջազգային գիտաժողով, գաղտնագրում և կոդավորում, Cirencester, Մեծ Բրիտանիա, LNCS, 5921 (2009), 38-55: doi ՝ 10.1007 / 978-3-642-10868-6_3. Google Scholar

D. Boucher, P. Sol $ սուր$ և F. Ulmer, Skew- ի սահմանային ծածկագրերը Galois- ի օղակների վրա, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 2 (2008), 273-292: doi ՝ 10.3934 / amc.2008.2.273: Google Scholar

D. Boucher և F. Ulmer, գծային կոդեր, օգտագործելով շեղված բազմանդամներ ավտոմորֆիզմներով և ածանցյալներով, Des. Կոդեր Cryptogr., 70 (2014), 405-431: doi ՝ 10.1007 / s10623-012-9704-4: Google Scholar

S. T. Dougherty և K. Shiromoto, 4-րդ կարգի օղակների առավելագույն հեռավորության ծածկագրերը, IEEE տրանս. Տեղեկատվության տեսություն, 47 (2001), 400-404: doi ՝ 10.1109 / 18.904544: Google Scholar

F. Gursoy, I. Siap և B. Yildiz, $ mathbb- ից ավելի շեղ ցիկլային կոդերի կառուցում_q + v mathbb_ ք $, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմում, 8 (2014), 313-322: doi ՝ 10.3934 / amc.2014.8.313: Google Scholar

Jr. A. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. Sloane and P. Sol $ սուր$, The $ mathbbՔերդոկի, Preparata- ի, Goethals- ի և հարակից ծածկագրերի գծային գծերը, IEEE տրանս. Տեղեկացնել Տեսություն, 40 (1994), 301-319: դոյ ՝ 10.1109 / 18.312154: Google Scholar

Ս. Itիտման, Ս. Լինգ և Պ. Ուդոմկավանիչ Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 6 (2012), 39-63: doi ՝ 10.3934 / amc.2012.6.39. Google Scholar

B. R. McDonald, Վերջավոր օղակներ ինքնությամբ, Marcel Dekker Inc, Նյու Յորք, 1974. Google Scholar

M. Ozen, F. Z. Uzekmek, N. Aydin and N. T. Ozzaim, Cyclic և որոշ սահմանադրական կոդեր $ frac օղակի վրա< langle u ^ 2-1 rangle> $, Վերջավոր դաշտեր, 38 (2016), 27-39: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2015.12.003: Google Scholar

E. Prange, ցիկլային սխալները շտկող կոդերը երկու խորհրդանիշում, Ռազմաօդային ուժերի Քեմբրիջի հետազոտական ​​կենտրոն, Քեմբրիջ, Մագիստրոս, տեխ. Rep. AFCRC-TN, (1957), 57-103: Google Scholar

M. Shi, L. Qian, L. Sok, N. Aydin and P. Sole, $ frac- ի նկատմամբ սահմանված կոդերի մասին< langle u ^ 2-1 rangle> $ և դրանց Մոխրագույն պատկերները, Վերջավոր դաշտեր, 45 (2017), 86-95: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2016.11.016: Google Scholar

I. Siap, T. Abualrub, N. Aydin and P. Seneviratne, կամայական երկարության Skew ցիկլային կոդերը, Ինտ. J. Inf. Կոդավորման տեսություն, 2 (2011), 10-20: doi ՝ 10.1504 / IJICOT.2011.044674: Google Scholar

E. Spiegel, ավելի քան $ mathbb ծածկագրեր_m $, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 35 (1977), 48-51: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (77) 90526-5: Google Scholar

E. Spiegel, ավելի քան $ mathbb ծածկագրեր_m $ (վերանայված), Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 37 (1978), 100-104: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (78) 90461-8: Google Scholar

Բ. Յըլդըզ և Ն. Այդին, $ mathbb- ից ավելի ծածկագրերի մասին_4 + u mathbb_4 $ և նրանց $ mathbb_4 $ - պատկերներ, Ինտ. J. Inf. Կոդավորման տեսություն, 2 (2014), 226-237: doi ՝ 10.1504 / IJICOT.2014.066107: Google Scholar

Բ. Յըլդըզ և Ս. Կարադենիզ, $ mathbb- ի գծային կոդեր_4 + u mathbb_4 $. MacWilliams- ի ինքնությունները, կանխատեսումները և պաշտոնապես ինքնուրույն երկակի կոդերը, Վերջավոր դաշտեր, 27 (2014), 24-40: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2013.12.007: Google Scholar

Հղումներ

M. Araya, M. Harada, H. Ito և K. Saito, Z4 կոդերի դասակարգման մասին, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 11 (2017), 747-756: doi ՝ 10.3934 / amc.2017054: Google Scholar

N. Aydin and T. Asamov, Z4 կոդերի շտեմարան, J. սանր. Ինֆ. Սիստ. Գիտ., 34 (2009), 1-12: Google Scholar

M. Bhaintwal, Skew քվազիկ ցիկլային կոդերը Galois օղակների վրա, Des. Կոդեր Cryptogr., 62 (2012), 85-101: doi ՝ 10.1007 / s10623-011-9494-0: Google Scholar

I. F. Blake, ծածկագրեր որոշակի օղակների վրա, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 20 (1972), 396-404: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (72) 90223-9: Google Scholar

I. F. Blake, ամբողջ թվով մնացորդային օղակների ծածկագրեր, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 29 (1975), 295-300: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (75) 80001-5: Google Scholar

W. Bosma, J. J. Cannon, C. Fieker and A. Steel, մագմայի ֆունկցիաների ձեռնարկ, Հրատարակություն, 2 (2010), 5017 էջ: Google Scholar

Դ. Բուչեր և Ֆ. Ուլմեր, ծածկագրում են թեք բազմանդամ օղակներով, Սիմվոլիկ հաշվարկի J.., 44 (2009), 1644-1656: doi ՝ 10.1016 / j.jsc.2007.11.008: Google Scholar

D. Boucher, W. Geiselmann and F. Ulmer, Skew ցիկլային կոդեր, Դիմում Հանրահաշիվ Engrg. Կոմ. Հաշվել, 18 (2007), 379-389: doi ՝ 10.1007 / s00200-007-0043-z. Google Scholar

Դ. Բուչեր և Ֆ. Ուլմեր. Կոդերը որպես մոդուլներ շեղված բազմանդամ օղակների վրա, Proc- ում: ի 12 տ IMA միջազգային գիտաժողով, գաղտնագրում և կոդավորում, Cirencester, Մեծ Բրիտանիա, LNCS, 5921 (2009), 38-55: doi ՝ 10.1007 / 978-3-642-10868-6_3. Google Scholar

D. Boucher, P. Sol $ սուր$ և F. Ulmer, Skew- ի սահմանային ծածկագրերը Galois- ի օղակների վրա, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 2 (2008), 273-292: doi ՝ 10.3934 / amc.2008.2.273: Google Scholar

D. Boucher և F. Ulmer, գծային կոդեր, օգտագործելով շեղված բազմանդամներ ավտոմորֆիզմներով և ածանցյալներով, Des. Կոդեր Cryptogr., 70 (2014), 405-431: doi ՝ 10.1007 / s10623-012-9704-4: Google Scholar

S. T. Dougherty և K. Shiromoto, 4-րդ կարգի օղակների առավելագույն հեռավորության ծածկագրերը, IEEE տրանս. Տեղեկատվության տեսություն, 47 (2001), 400-404: doi ՝ 10.1109 / 18.904544: Google Scholar

F. Gursoy, I. Siap և B. Yildiz, $ mathbb- ից ավելի շեղ ցիկլային կոդերի կառուցում_q + v mathbb_ ք $, Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմում, 8 (2014), 313-322: doi ՝ 10.3934 / amc.2014.8.313: Google Scholar

Jr. A. R. Hammons, P. V. Kumar, A. R. Calderbank, N. J. Sloane and P. Sol $ սուր$, The $ mathbbՔերդոկի, Preparata- ի, Goethals- ի և հարակից ծածկագրերի գծային գծերը _4 $ IEEE տրանս. Տեղեկացնել Տեսություն, 40 (1994), 301-319: դոյ ՝ 10.1109 / 18.312154: Google Scholar

Ս. Itիտման, Ս. Լինգ և Պ. Ուդոմկավանիչ Ադվ. Մաթեմատիկա. Կոմունիկ, 6 (2012), 39-63: doi ՝ 10.3934 / amc.2012.6.39. Google Scholar

B. R. McDonald, Վերջավոր օղակներ ինքնությամբ, Marcel Dekker Inc, Նյու Յորք, 1974. Google Scholar

M. Ozen, F. Z. Uzekmek, N. Aydin and N. T. Ozzaim, Cyclic և որոշ սահմանադրական կոդեր $ frac օղակի վրա< langle u ^ 2-1 rangle> $, Վերջավոր դաշտեր, 38 (2016), 27-39: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2015.12.003: Google Scholar

E. Prange, ցիկլային սխալները շտկող կոդերը երկու խորհրդանիշում, Ռազմաօդային ուժերի Քեմբրիջի հետազոտական ​​կենտրոն, Քեմբրիջ, Մագիստրոս, տեխ. Rep. AFCRC-TN, (1957), 57-103: Google Scholar

M. Shi, L. Qian, L. Sok, N. Aydin and P. Sole, $ frac- ի նկատմամբ սահմանված կոդերի մասին< langle u ^ 2-1 rangle> $ և դրանց Մոխրագույն պատկերները, Վերջավոր դաշտեր, 45 (2017), 86-95: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2016.11.016: Google Scholar

I. Siap, T. Abualrub, N. Aydin and P. Seneviratne, կամայական երկարության Skew ցիկլային կոդերը, Ինտ. J. Inf. Կոդավորման տեսություն, 2 (2011), 10-20: doi ՝ 10.1504 / IJICOT.2011.044674: Google Scholar

E. Spiegel, ավելի քան $ mathbb ծածկագրեր_m $, Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 35 (1977), 48-51: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (77) 90526-5: Google Scholar

E. Spiegel, ավելի քան $ mathbb ծածկագրեր_m $ (վերանայված), Տեղեկատվություն և վերահսկում:, 37 (1978), 100-104: doi ՝ 10.1016 / S0019-9958 (78) 90461-8: Google Scholar

Բ. Յըլդըզ և Ն. Այդին, $ mathbb- ից ավելի ծածկագրերի մասին_4 + u mathbb_4 $ և նրանց $ mathbb_4 $ - պատկերներ, Ինտ. J. Inf. Կոդավորման տեսություն, 2 (2014), 226-237: doi ՝ 10.1504 / IJICOT.2014.066107: Google Scholar

Բ. Յըլդըզ և Ս. Կարադենիզ, $ mathbb- ի գծային կոդեր_4 + u mathbb_4 $. MacWilliams- ի ինքնությունները, կանխատեսումները և պաշտոնապես ինքնուրույն երկակի կոդերը, Վերջավոր դաշտեր, 27 (2014), 24-40: doi ՝ 10.1016 / j.ffa.2013.12.007: Google Scholar

Ներբեռնեք որպես PowerPoint սլայդ

$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Գեներատորների հավաքածու Ծածկագիր $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ C_1 $ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(10, 4 ^ 82 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ C_2 $ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $ C_3 $ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_4 $ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_5 $ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_6 $ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_7 $ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Գեներատորների հավաքածու Ծածկագիր $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ C_1 $ $<(10, 4^6, 2)^<>>$ $<(5, 4^42^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(10, 4 ^ 82 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ C_2 $ $<(20, 4^6, 8)>$ $(10, 4^6, 4)^*$ $(20, 4^<12>, 4)^*$
$$ $ C_3 $ $<(20, 4^6, 6)>$ $(10, 4^5, 6)^*$ $(20, 4^<10>, 6)$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_4 $ $<(24, 4^8, 6)>$ $(12, 4^8, 4)^*$ $(24, 4^<16>, 4)^*$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_5 $ $<(28, 4^8, 6)>$ $(14, 4^8, 5)^*$ $(28, 4^<16>, 5)^*$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_6 $ $<(30, 4^8, 6)>$ $(15, 4^8, 6)^*$ $(30, 4^<16>, 6)$
$ ձախ << ձախ (x աջ), x ձախ (x աջ), ձախ (x աջ), ձախ (x աջ)> աջ > $ $ C_7 $ $<(36, 4^8, 8)>$ $(18, 4^8, 8)^*$ $(36, 4^<16>, 8)^*$
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Գեներատորների հավաքածու Անուն $ (n, M, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ A_1 $ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $ A_2 $ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(12, 4 ^ <10> 2 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ A_3 $ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $ A_3 $ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $ mathbf <(8, 4 ^ 7, 2) ^ <** >> $ $ mathbf <(16, 4 ^ <14>, 2)> ^ <**> $
$ C $ $ Phi (C) $ $ Res (C) $ $ C ^ * $
Գեներատորների հավաքածու Անուն $ (n, M, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $ $ (n, 4 ^2^, d_L) $
$$ $ A_1 $ $<(10,128, 2)^<>>$ $<(5, 4^32^1, 2)^<*>>$ $(10, 4^62^2, 2)$
$$ $ A_2 $ $<(12, 4096, 2)^<>>$ $<(6, 4^52^1, 2)^<*>>$ $ mathbf <(12, 4 ^ <10> 2 ^ 2, 2)> ^ <**> $
$$ $ A_3 $ $<(14, 65536, 2)^<>>$ $<(7, 4^62^1, 2)^<*>>$ $<(14, 4^<12>2^2, 2)>$
$$ $ A_3 $ $<(16, 65536, 4)^<>>$ $ mathbf <(8, 4 ^ 7, 2) ^ <** >> $ $ mathbf <(16, 4 ^ <14>, 2)> ^ <**> $

Martianus Frederic Ezerman, San Ling, Patrick Solé, Olfa Yemen. Թեք ցիկլային կոդերից մինչև ասիմետրիկ քվանտային ծածկագրեր: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2011, 5 (1) ՝ 41-57: doi ՝ 10.3934 / amc.2011.5.41

Ումբերտո Մարտինես-Պենաս: Դասակարգի համարժեք և աստիճանի այլասերված շեղված ցիկլային կոդեր: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2017, 11 (2) ՝ 267-282: doi ՝ 10.3934 / amc.2017018

Jérôme Ducoat, Frédérique Oggier. Ewիկլային բաժանման հանրահաշիվների քաղվածքներից շեղ բազմանդամ կոդերի և ցանցերի վրա: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2016, 10 (1) ՝ 79-94: doi ՝ 10.3934 / amc.2016.10.79

Cem Güneri, Ferruh Ozbudak, Funda ÖzdemIr. Լրացուցիչ երկակի հավելման ցիկլային ծածկագրերի վերաբերյալ: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2017, 11 (2) ՝ 353-357: doi ՝ 10.3934 / amc.2017028

Նաբիլ Բեննեննի, Քենզա Գուենդա, Սիհեմ Մեսնագեր: ԴՆԹ-ի ցիկլային ծածկագրերը օղակների վրա: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2017, 11 (1) ՝ 83-98: doi ՝ 10.3934 / amc.2017004

Հայդե Գլյուսինգ-Լուերսսեն, Քեթրին Մորիսոն, Քերոլին Տրոհա: Ուղեծրի ցիկլային կոդեր և կայունացուցիչի ենթադաշտեր: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2015, 9 (2) ՝ 177-197: doi ՝ 10.3934 / amc.2015.9.177

Ֆաթմանուր Գուրսոյ, Իրֆան Սիապ, Բահաթին Յըլդըզ: $ Mathbb F_q + v mathbb F_q $ - ից ավելի շեղ ցիկլային կոդերի կառուցում: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2014, 8 (3) ՝ 313-322: doi ՝ 10.3934 / amc.2014.8.313

Հայդե Գլյուսինգ-Լուերսսեն, Ֆայ-Լունգ angանգ: Matիկլային կոնվոլյուցիոն ծածկագրերի մատրիցային օղակի նկարագրություն: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2008, 2 (1) ՝ 55-81: doi ՝ 10.3934 / amc.2008.2.55

Ռաֆայել Արսե-Նազարիո, Ֆրենսիս Ն. Կաստրո, Խոսե Օրտիս-Ուբարի: Որոշ երկուական ցիկլային ծածկագրերի ծածկույթի շառավղի վրա: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2017, 11 (2) ՝ 329-338: doi ՝ 10.3934 / amc.2017025

Long Yu, Hongwei Liu: $ P $ - ցիկլային կոդերի դաս և դրանց քաշը հաշվարկողների դաս: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2016, 10 (2) ՝ 437-457: doi ՝ 10.3934 / amc.2016017

Հայդե Գլյուսինգ-Լուերսսեն, Ուվե Հելմկե, Խոսե Իգնացիո Իգլեսիաս Կուրտո: Հանրահաշվական վերծանում կրկնակի ցիկլային կոնվոլյուցիոն ծածկագրերի համար: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2010, 4 (1) ՝ 83-99: doi ՝ 10.3934 / amc.2010.4.83

Սան Լինգ, Բուկեթ Օզկայա: Նոր սահմաններ ցիկլային կոդերի նվազագույն հեռավորության վրա: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2021, 15 (1) ՝ 1-8: doi ՝ 10.3934 / amc.2020038

Գուստավո Տերա Բաստոս, Ռեջինալդո Պալացցո úոնիոր, Մարինես Գերեյրո: Աբելյան ոչ ցիկլային ուղեծրի կոդեր և բազմալեզու ենթատարածքային ծածկագրեր: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2020, 14 (4) ՝ 631-650: doi ՝ 10.3934 / amc.2020035

Յունվեն Լյու, Լոնջյան Քու, Չաո Լի: Սիստեմատիկ նույնականացման ծածկագրերի նոր կառուցվածքներ ցիկլային ծածկագրերի երեք դասերից: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2018, 12 (1) ՝ 1-16: doi ՝ 10.3934 / amc.2018001

Խերարդո Վեգա, Խեսուս Է. Կուեն-Ռամոս: Կրճատվող ցիկլային կոդերի ընտանիքների քաշի բաշխումը որոշ անկրճատելի ցիկլային կոդերի քաշի բաշխման միջոցով: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2020, 14 (3) ՝ 525-533: doi ՝ 10.3934 / amc.2020059

Սթիվեն Դ. Դուգերտի, Քրիստինա Ֆերնանդես-Կորդոբա: $ Mathbb- ից ավելի ծածկագրեր_ <2 ^ k> $, Մոխրագույն քարտեզ և ինքնալուսակցական կոդեր: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2011, 5 (4): 571-588: doi ՝ 10.3934 / amc.2011.5.571

Ֆերնանդո Հերնանդո, Թոմ Հոլհոլդ, Դիեգո Ռուանո: Listուցադրեք մատրիցային-ապրանքի ծածկագրերը տեղադրված ծածկագրերից. Կվազիկլիկ կոդերի դիմում: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2012, 6 (3) ՝ 259-272: doi ՝ 10.3934 / amc.2012.6.259

Սերխիո Ռ. Լոպես-Պերմութ, Սթիվ Սաբո: Գալուայի օղակների վրա կրկնվող արմատային ցիկլային և ժխտական ​​կոդերի կրկնվող կոդերի մուրճի ծանրության վրա: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2009, 3 (4) ՝ 409-420: doi ՝ 10.3934 / amc.2009.3.409

Ռիկարդո Ա. Պոդեստա, Դենիս Է. Վիդելա: Անթույլատրելի ցիկլային կոդերի քաշի բաշխումը, որոնք կապված են քայքայվող ընդհանրացված Paley գծապատկերների հետ: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2021 doi ՝ 10.3934 / amc.2021002

Լեետիկա Կաթուրիա, Մադհու Ռակա. Cycիկլային ինքնաօրթոգոնալ ծածկագրերի առկայություն. Վերա Պլեսի արդյունքի մասին նշում: Հաղորդակցությունների մաթեմատիկայի առաջընթաց, 2012, 6 (4) ՝ 499-503: doi ՝ 10.3934 / amc.2012.6.499


Որպեսզի համարը փոխվի հաջորդ ցածր ամբողջ թվին (ամբողջ թիվ), ստացեք համարը հատակ արժեք 8.76-ի հատակի արժեքը 8 է, քանի որ դա հաջորդ ցածր ամբողջ թիվն է: 6.17 բացասական թվի համար նրա հատակը -7 է, քանի որ դա հաջորդ ցածր ամբողջ թիվն է:

Թվի կոտորակային մասը հանվում է կտրում այն Եթե ​​թիվն ունի 54.234 արժեք, դրա կտրված արժեքը 54 է: Կտրումը նույն կերպ է գործում բացասական թվի համար: -34.913-ի կարճացված արժեքը -34 է:


Աբելի խմբերի ամենապարզ օրինակներն են ցիկլային խմբեր, որոնք մեկ տարրի կողմից առաջացած խմբեր են և, այսպիսով, նույնական են Z n mathbb- ի համար_n Z n հիշեք, որ Z n mathbb_n Z n- ը սահմանվում է որպես

Չնայած բոլոր ցիկլային խմբերը որովայնային են, բայց ոչ բոլոր որովայնային խմբերն են ցիկլային: Օրինակ, Klein չորս խումբը Z 2 × Z 2 mathbb_2 անգամ mathbb_2 Z 2 × Z 2 որովայնային է, բայց ոչ ցիկլային:

Ի հակադրություն, անշրջելի մատրիցների խումբը մատրիցների բազմապատկման խմբակային օրենքով չի կազմում աբելյան խումբ (դա ոչաբելական), քանի որ ընդհանուր առմամբ ճիշտ չէ, որ M N = N M MN = NM M N = N M M, N M, N M, N մատրիցների համար: S n S_n S n սիմետրիկ խումբը նույնպես ոչ այբելյանական է n ≥ 3 n geq 3 n ≥ 3-ի համար:

Օղակները նաև աբելիական խմբերի օրինակներ են ՝ կապված դրանց հավելանյութերի հետ: Բացի այդ, օղակի միավորները կազմում են որովայնային խումբ ՝ կապված դրա բազմապատկման հետ: Օրինակ, իրական թվերը կազմում են աբելիական հավելանյութային խումբ, իսկ ոչ զրո իրական թվերը (նշվում է R ∗ mathbb^ <*> R ∗) կազմում են abelian բազմապատկման խումբ:


ՄԱՏ 112 Հին և ժամանակակից մաթեմատիկա

1.3.10 սահմանման մեջ մենք բազմացումը սահմանել էինք որպես կրկնվող գումարման: Դրական ամբողջ թվերի համար մենք բաժանումը կատարեցինք որպես կրկնվող հանում: Մենք նախ քննարկում ենք այս դեպքը, այնուհետև ալգորիթմը ընդհանրացնում ենք բոլոր ամբողջ թվերին `բացասական ամբողջ թվերի համար բաժանման ալգորիթմ տալով:

Դիտեք տեսանյութը Բաժնի ալգորիթմի նկար 3.2.1-ում, ապա կարդացեք այս բաժնի մնացած մասում մանրամասն նկարագրությունը:

Դրական ամբողջ թվերի համար 3.2.1. Բաժնի ալգորիթմ ենթաբաժին

Բաժանման ալգորիթմի մեր առաջին տարբերակում մենք սկսում ենք ոչ-բացասական ամբողջ թվից (a ) և շարունակում հանել բնական թիվը (b ), մինչև ստանանք (b ) - ից փոքր և ավելի մեծ թիվ քան կամ հավասար է (0 տեքստի <.> ) մենք կոչ ենք անում շարք անգամներ, որ մենք կարող ենք հանել (բ ) է (ա ) է բաժանման (ա ) կողմից (b տեքստ <.> ) Մնացած համարը կոչվում է (a ) - ի բաժանման բաժին ՝ (b text <.> )

Մենք գործածում ենք գործակիցի համար (q ) փոփոխականը, իսկ մնացածի համար ՝ (r ) փոփոխականը: Մենք ունենք

Բաժանման ալգորիթմը հաշվարկում է ինչպես գործակիցը, այնպես էլ մնացածը: 3.2.2 ալգորիթմում և 3.2.10 ալգորիթմում մենք դա նշում ենք `տալով երկու արժեք` ստորակետով բաժանված վերադառնալ.

Եթե ​​ (a lt b ) ապա մենք չենք կարող (a ) -ից հանել (b ) և վերջում թվով մեծ լինել կամ հավասար (b text <.> ): Այսպիսով, այս դեպքում , գործակիցը 0 է, իսկ մնացած մասը ՝ ինքն իրեն ((a )): Մենք այս գործը բռնում ենք ալգորիթմի 1-ին քայլին:

Ալգորիթմ 3.2.2. Դրական թվերի բաժին:

բնական թիվ (ա ) և բնական թիվ (բ )

Երկու ամբողջ թիվ (q ) և (r ) այնպես, որ (a = (q cdot b) + r ) և (0 leq r lt b )

Մենք նախ համարում ենք մի օրինակ, որում ալգորիթմն ավարտվում է նախքան այն մուտքագրելը կրկնել_ մինչև օղակ

Օրինակ 3.2.3. (4 ) բաժանումը ըստ (7 ) ըստ Ալգորիթմի 3.2.2.

Մենք գտնում ենք Ալգորիթմի 3.2.2 ելքային արժեքները մուտքային արժեքների համար (a = 4 ) և (b = 7 text <.> )

Քանի որ (a = 4 ) և (b = 7 ) հայտարարությունը (a lt b ) ճիշտ է: Այսպիսով, մենք հետևում ենք հրահանգին դրանից հետո ապա և վերադարձնել (q ) և (r text <,> ) արժեքները, մասնավորապես ՝ 0 և 4:

Այսպիսով, (4 ) - ի (7 ) բաժանման գործակիցը (0 ) է, իսկ մնացած մասը ՝ (4 տեքստ <.> )

Բաժանման ալգորիթմով մենք գտնում ենք քանակ և մնացորդ: Այս օրինակում մենք անցնում ենք կրկնել_ մինչև հանգույց մի քանի անգամ:

Օրինակ 3.2.4. (30 ) բաժանումը ըստ (8 ) ըստ Ալգորիթմի 3.2.2.

Մենք գտնում ենք 3.2.2 ալգորիթմի ելքային արժեքները մուտքային արժեքների համար (a = 30 ) և (b = 8 տեքստ <.> )

1. Քանի որ (a = 30 ) և (b = 8 ) հայտարարությունը (a lt b ) կեղծ է: Այսպիսով, մենք շարունակում ենք քայլ 2-ով:

5. Քանի որ (r = 22 ) և (q = 1 ) հայտարարությունը (r lt q ) կեղծ է: Այսպիսով, մենք շարունակում ենք 4-րդ քայլը

5. Քանի որ (r = 14 ) և (q = 8 ) հայտարարությունը (r lt q ) կեղծ է: Այսպիսով, մենք շարունակում ենք 4-րդ քայլը

Քանի որ (r = 6 ) և (q = 8 ) հայտարարությունը (r lt q ) ճիշտ է: Այսպիսով, մենք շարունակում ենք 6-րդ քայլը:

Մենք վերադարձնում ենք գործակիցը (q = 3 ) և մնացածը (r = 6 )

Այսպիսով (30 ) –ի + (8 ) բաժանման գործակիցը (3 ) է, իսկ մնացած մասը ՝ (6 տեքստ <.> )

3.2.2 ալգորիթմի հրահանգների միջոցով աշխատելիս ավելի հարմար կլինի աղյուսակի օղակի յուրաքանչյուր կրկնության մեջ տալ բոլոր համապատասխան փոփոխականների արժեքները: Մենք կրկին այցելում ենք 3.2.4 օրինակը, որը ներկայացնում է աշխատանքը ավելի կոմպակտ ձևով:

Օրինակ 3.2.5. Բաժանելով (30 ) ըստ (8 ) Ալգորիթմի 3.2.2-ով ավելի կարճ:

Մենք գտնում ենք 3.2.2 ալգորիթմի ելքային արժեքները մուտքային արժեքների համար (a = 30 ) և (b = 8 text <.> )

Աղյուսակի յուրաքանչյուր շարքում մենք գրում ենք բոլոր փոփոխականների արժեքները օղակի կրկնության համար: Եթե ​​փոփոխականն արժեք չունի, մուտքը դատարկ ենք թողնում: Արդյունքում ելքի համար մենք թողնում ենք բոլոր փոփոխականների գրառումները, որոնք ելքի մաս չեն կազմում:

քայլեր (ա ) (բ ) (q ) (r )
Ներածում (30) (8) () ()
1.,2.,3. (30) (8) (0) (30)
4.,5. (30) (8) (0+1=1) (30-8=22)
4.,5. (30) (8) (1+1=2) (22-8=14)
4.,5. (30) (8) (1+1=3) (14-8=6)
Արդյունք () () (3) (6)

Այսպիսով, ելքը (q = 3 ) և (r = 6 ) է

3.2.6 օրինակում կարող եք դիտել, թե ինչպես են փոփոխվում փոփոխականների արժեքները, երբ կտտացնում ես բաժանման ալգորիթմի քայլերին:

Օրինակ 3.2.6. Բաժնի ալգորիթմը ինտերակտիվ:

3.2.7 կետում մենք նման կերպով բացում ենք ալգորիթմի 3.2.2-ի օղակը: Հետևեք հրահանգներին ՝ քանակ և մնացորդ գտնելու համար:

Հսկիչ կետ 3.2.7. Գտեք գործակիցը և մնացորդը բաժանման ալգորիթմով:

Երբեմն մեկին չի հետաքրքրում ինչպես քանակը, այնպես էլ մնացորդը: Նման դեպքում կարելի է օգտագործել պարզեցված ալգորիթմ: Որոշեք 3.2.8 կետի ալգորիթմի ելքը:

3.2.8 կետի անցակետ: Բաժանման ալգորիթմի մեկ այլ տարբերակ:

Եթե ​​ (a & gt0 text <,> ) ապա Ալգորիթմ 3.2.2-ը վերադարձնում է (a ) - ի բաժանման քանակը և մնացորդը (b տեքստով <.> ), Եթե փորձենք օգտագործել 3.2.2 ալգորիթմը: երբ (a ) բացասական է, ալգորիթմը միշտ վերադարձնում է (0, a ), որը չի բավարարում արդյունքի պայմանը (0 le r ), քանի որ (r = a lt 0 text <: > ) Այսպիսով, գործի համար մեզ այլ ալգորիթմ է պետք (a lt 0 տեքստ <.> )

Բաժին 3.2.2 Բաժնի Ալգորիթմ Բացասական ամբողջ թվերի համար

Երբ (a lt 0 text <,> ) մենք դեռ ուզում ենք գտնել (q ) և (r ) այնպես, որ (a = (q cdot b) + r ) հետ (0 le r lt b text <.> ) Մենք դրական մնացորդ ենք ստանում, երբ (a ) բացասական է ՝ (b text <.> ) կրկնակի ավելացումով. սա նույնն է, ինչ բազմակի ավելացնելը (- b text <.> ) Թող (s ) լինի այն դեպքերի քանակը, երբ մենք պետք է (a ) - ին ավելացնենք (b ) ՝ (0 le r lt b text) ստանալու համար: > ) (A ) - ի (a ) - ին (a ) - ի լրացումներից հետո մենք ունենք

Եթե ​​թույլ տանք (q: = - s text <,> ) ստացվի (r = a- (q cdot b) ) (համեմատիր սա մեր ուզածի հետ): Մենք կանգ ենք առնում, երբ (0 le r lt b text <.> ) Մենք բազմիցս բացասական թվերին ավելացնում ենք (b ), մինչև որ (0 le r lt b ) ճիշտ լինի: Քանի որ բացասական թիվը գումարած (b ) միշտ պակաս է, քան (b ), և մենք յուրաքանչյուր գումարումից հետո ստուգում ենք (r ) - ի արժեքը, բավական է ստուգել, ​​թե արդյոք (0 le r text <): > )

Օրինակ 3.2.9. Բաժանումը (- 33 ) ըստ (9 ):

Մենք բացատրում ենք բացասական թիվը բաժանելու գործընթացը ՝ բաժանելով (- 33 ) (9 տեքստը <.> ) Բազմիցս ավելացնում ենք (9 ) մինչև որ թիվ ստանանք (0 ) - ից ( 9-1 = 8 տեքստ <.> ) Այդ թիվը մնացորդն է: (9 ) ավելացրած անգամների քանակի բացասական է տրված քանորդը:

Քանի որ (0 le 3 lt 9 ) մենք ավարտեցինք: Մնացորդը (3 տեքստ <.> ) Մենք ավելացրել ենք (9 ) չորս անգամ, ուստի գործակիցը (- 4 տեքստ <.> ) Մենք ունենք

Այժմ մենք այս ընթացակարգը ձեւակերպում ենք ալգորիթմով:

Ալգորիթմ 3.2.10. Բացասական ամբողջ թվերի բաժին:

Բացասական ամբողջ թիվ (ա ) և բնական թիվ (բ )

Երկու ամբողջ թիվ (q ) և (r ) այնպես, որ (a = (q cdot b) + r ) և (0 leq r lt b )


Ինչպես գրել բաժանման նախադասություն

Բաժանման նախադասություն գրելու համար օգտագործեք հետևյալ քայլերը.

  1. Նախ գրեք ընդհանուր բաժանվող կամ բաժանվող ընդհանուր թիվը:
  2. Հաջորդը գրիր բաժանման նշանը,:
  3. Բաժանման նշանից հետո գրի՛ր այն խմբերի քանակը, որոնցում բաժանվում է գումարը:
  4. Հաջորդը գրիր հավասար նշանը, =:
  5. Ի վերջո, օբյեկտների համօգտագործումից հետո յուրաքանչյուր խմբում գրեք համարը:

Քանի դեռ մենք օգտագործում ենք ամբողջական թվեր, առաջին հերթին կգտնվի բաժանման նախադասության ամենամեծ թիվը:

Ահա բառի խնդրի համար բաժանման նախադասություն գրելու մի օրինակ:

Տաս մարմարը դրվում է 5 տոպրակի մեջ

Առաջին քայլը պետք է գրել ընդհանուր բաժանվող թիվը, որը 10 է:

Երկրորդ քայլը բաժանման նշան գրելն է,:

Երրորդ քայլը խմբերի քանակն է գրել: Սա այն մարմնամարզության պայուսակների քանակն է, որոնք կդնեն մարմարը: Մենք ունենք 5:

Չորրորդ քայլը երկուսն են `գրեք հավասար նշան, =:

Հինգերորդ քայլը յուրաքանչյուր խմբում համարը գրելն է: Տեղադրելով մարմարները 5 հավասար խմբերի մեջ, մենք կարող ենք տեսնել, որ յուրաքանչյուր խմբում կա 5-ը:

Բաժանման նախադասությունը 10 ÷ 5 = 2 է:

Այս նախադասությունը նշանակում է, որ 5 հավասար խմբերի բաժանված 10-ը մեզ տալիս է յուրաքանչյուր խմբում 2-ը:

Ահա բառերի խնդրի համար բաժանման նախադասություն գրելու մեկ այլ օրինակ:

12 խնձոր բաժանվում է 4 երեխաների միջեւ:

Հիշեք, որ բաժանման նախադասության մեջ ամենամեծ թիվը կգա առաջինը:

Մենք կիսում ենք 12 օբյեկտ 4 անձանց միջեւ:

Յուրաքանչյուր երեխա ստանում է 3 և այսպես, բաժանման մեր պատասխանը 3 է:

12 ÷ 4 = 3 նշանակում է, որ 4 երեխայի միջեւ բաժանված 12 խնձոր յուրաքանչյուր երեխային տալիս է 3 խնձոր:

Ահա բաժին գրելու մի օրինակ:

16 թռչուններ դրվում են 4-հոգանոց խմբերի:

Ամենամեծ թիվը ընդհանուրն է: Մենք ունենք 16 թռչուն, ուստի նախ գրում ենք սա:

Բաժանման նշանից հետո համարը խմբերի քանակն է:

Մենք ունենք 16 ÷ 4, ինչը նշանակում է, որ 16 թռչուն բաժանված է 4 հավասար խմբերի:

Մենք հաշվում ենք, թե յուրաքանչյուր խմբի մեջ քանի թռչուն է ստանալու մեր պատասխանը `հավասարների նշանից հետո:

Յուրաքանչյուր խմբում կա 4 թռչուն և այլն, 16 ÷ 4 = 4:

Այժմ փորձեք մեր դասը Կարճ բաժին առանց մնացորդների որտեղ մենք սովորում ենք, թե ինչպես օգտագործել կարճ բաժանման մեթոդը թվերի բաժանման համար:


Պարզ բաժանման բառի խնդիրներ

Բաժանման բառի խնդիր լուծելու համար կարող ենք օգտագործել հետևյալ քայլերը.

  1. Որոշեք հարցումում տրված թվերը:
  2. Որոշեք, թե որ թիվն է ընդհանուր մեծությունը:
  3. Բացահայտեք, թե քանի խմբի մեջ ենք մենք բաժանվում կամ քանիսից յուրաքանչյուրը պետք է գնա:
  4. Բաժանեք ընդհանուրը ըստ խմբերի քանակի `յուրաքանչյուր խմբի գումարը գտնելու համար:
  5. Կամ բաժանել ընդհանուրը յուրաքանչյուրի համար անհրաժեշտ քանակի վրա `պարզելու համար, թե քանի խումբ կարող է ստեղծվել:

Այս օրինակում, և # 8216 ես ունեմ 10 քաղցրավենիք հավասարաչափ կիսել 5 երեխաների միջեւ: Քանի՞ քաղցրավենիք են նրանք պատրաստում յուրաքանչյուրը ստանալ? & # 8217

Մենք փորձում ենք գտնել, թե քանի քաղցրավենիք է ստանում յուրաքանչյուր երեխա, ուստի ուզում ենք իմանալ, թե քանի խմիչք կլինի յուրաքանչյուր խմբում:

Մենք նախ բացահայտում ենք ընդհանուրը, որը կազմում է 10 քաղցրավենիք:

Այժմ մենք բացահայտում ենք, թե քանի խումբ ունենք, ինչը 5-ն է: Մենք հավասարապես կիսում ենք 5 երեխաների միջև:

Մենք ընդհանուր գումարը բաժանում ենք խմբերի քանակով:

Մենք կիսում ենք 10 քաղցրավենիք 5 հոգու միջեւ:

10 ÷ 5 = 2 և այլն, յուրաքանչյուր երեխա ստանում է 2-ական քաղցրավենիք:

Բաժանման բառերի խնդիրները դասավանդելիս մենք կարող ենք նկարել 10 քաղցրավենիք և խմբավորել դրանք հավասարապես ՝ նրանց շուրջ շրջանակներ գծելով ՝ դա պատկերացնելու համար: Կարող էինք նաև 10 հաշվիչ ստանալ և դրանք հավասարապես բաժանել մեկ առ մեկ:

Այս օրինակում մենք կարող ենք տեսնել, որ մենք ունեցել ենք հավասարաչափ կիսել և յուրաքանչյուրը, որը կարող է մեզ հուշել, որ մենք ունենք բաժանում:

Բաժանումը մեզ ասում է նաև, թե 5 անգամ քանի անգամ է անցնում 10-ը:

In this next example, ‘I have 80 matches. I will put 8 into each packet. How any packets will I fill?’

We want to see how many packets we will fill. We want to see how many groups we will create.

We first identify the total number of matches, which is 80.

We then identify the number in each packet, which is 8.

To find the total number of packets, we will divide.

80 ÷ 8 = 10 and so, we can make 10 packets.

We can think of this as working out how many times 8 goes into 80 or how many packets can be made from 80 matches.

In this next example, ‘I need 30 crayons. Each pack contains 5 crayons. How many packs should I buy?’

The total number is the larger number, which is is 30.

We are buying the crayons in equal groups of 5.

We need to work out how many groups we need. How many fives make 30?

We need to work out how many fives go into 30.

30 ÷ 5 = 6 and so, we need 6 packs.

We can check out answer. 6 lots of 5 make the 30 crayons needed because 6 × 5 = 30.

In this example we needed to find the number of groups required. So we divided the total by the number in each group.

In this example, ‘I have 21 chairs. I will arrange the chairs in rows of 7.How many rows should I make?’

Here we have the total number of chairs, which is 21.

We are arranging them into rows of 7, so each group contains 7 chairs.

We want to find the number of rows that we can make. We want to work out how many rows of 7 can be made from 21 chairs. This is how many times 7 goes into 21.

21 ÷ 7 = 3 and so, we can make 3 rows.

We can see that each row is the same size. We can teach this by taking 21 counters and sharing them into 3 equal rows.

In this example involving money, ‘Shirts cost $11 and I have $66. How many shirts can I buy?’

We want to know how many elevens go into 66.

The total is $66 and we are dividing by 11.

We want to know how many times we can spend $11.

66 ÷ 11 = 6 and so, we can spend $11 six times.

Now try our lesson on Short Division without Remainders where we learn how to use the short division method to divide numbers.