Հոդվածներ

7.2. Էքսպոնենտալ գործառույթները և դրանց գծապատկերները. Մաթեմատիկա


Ուսուցման նպատակները

  • Բացահայտել և գնահատել ցուցիչ գործառույթները:
  • Էսքիզային ֆունկցիաների գծապատկերը ուրվագծեք և որոշեք տիրույթը և տիրույթը:
  • Բնորոշ ցուցիչ ֆունկցիան նույնականացնել և գծագրել:
  • Կիրառեք բարդ հետաքրքրության բանաձևերը:

Էքսպոնենտալ գործառույթներ

Հանրահաշվի մեր ուսումնասիրության այս պահին մենք սկսում ենք դիտարկել տրանսցենդենտալ գործառույթները կամ գործառույթները, որոնք կարծես «գերազանցում են» հանրահաշիվը: Մենք ուսումնասիրել ենք փոփոխական հիմքերով և հաստատուն ցուցիչներով գործառույթներ, ինչպիսիք են ՝ (x ^ {2} ) կամ (y ^ {- 3} ): Այս բաժնում մենք ուսումնասիրում ենք կայուն հիմքով և փոփոխական ցուցիչներով գործառույթներ: Հաշվի առնելով իրական թիվը (b> 0 ), որտեղ (b ≠ 1 ) ան ցուցիչ գործառույթ5 ունի ձև

(f (x) = b ^ {x} quad color {Cerulean} {Exponential : Function} )

Օրինակ, եթե հիմքը (b ) հավասար է (2 ), ապա մենք ունենք (f (x) = 2 ^ {x} ) սահմանված ցուցիչ գործառույթ: Այստեղ մենք կարող ենք տեսնել, որ էքսպոնենտը փոփոխականն է: Մինչև այս պահը սահմանվել են բանական արտահայտիչները, բայց ոչ իռացիոնալները: Հաշվի առնենք (2 ^ { sqrt {7}} ), երբ արտահայտիչը միջակայքում իռացիոնալ թիվ է,

(2.64 < sqrt {7} <2.65 )

Մենք կարող ենք օգտագործել այս սահմանները գնահատելու համար (2 ^ { sqrt {7}} ),

(2 ^ {2.64} <2 ^ { sqrt {7}} <2 ^ {2.65} )
(6.23 <2 ^ { sqrt {7}} <6.28 )

Այս եղանակով օգտագործելով ռացիոնալ ցուցիչներ, (2 ^ { sqrt {7}} ) - ի մոտավորություն կարելի է ստանալ ցանկացած մակարդակի ճշգրտության հետ: Հաշվիչի վրա,

(2 ^ { սեպ) sqrt {7} մոտ 6.26 )

Ուստի ցանկացած ցուցիչ գործառույթի տիրույթը բաղկացած է բոլոր իրական թվերից ((- ∞, ∞) ): Ընտրեք որոշ արժեքներ (x ) - ի համար, ապա որոշեք համապատասխան (y ) - արժեքները:

Աղյուսակ ( PageIndex {1} )
(x ) (y ) (f (x) = 2 ^ {x} ) ( գույնը {Cerulean} {Solutions} )
(-2) ( գույնը {Cerulean} { frac {1} {4}} ) (y = 2 ^ {- 2} = frac {1} {2 ^ {2}} = frac {1} {4} ) ( ձախ (-2, frac {1} {4} աջ) )
(-1) ( գույնը {Cerulean} { frac {1} {2}} ) (y = 2 ^ {- 1} = frac {1} {2 ^ {1}} = frac {1} {2} ) ( ձախ (-1, frac {1} {2} աջ) )
(0) ( գույնը {Cerulean} {1} ) (y = 2 ^ {0} = 1 )((0,1))
(1) ( գույնը {Cerulean} {2} ) (y = 2 ^ {1} = 2 )((1,2))
(2) ( գույնը {Cerulean} {4} ) (y = 2 ^ {2} = 4 )((2,4))
( sqrt {7} ) ( գույնը {Cerulean} {6.26} ) (y = 2 ^ { sqrt {7}} մոտ 6.26 )((2.65,6.26))

Քանի որ ցուցիչները սահմանված են ցանկացած իրական համարի համար, մենք կարող ենք գծապատկերել ուրվագիծը `օգտագործելով շարունակական կորը այս տրված կետերի միջոցով.

Կարևոր է նշել, որ երբ (x ) բացասական անսահմանությանը մոտենա, արդյունքները դառնում են շատ փոքր, բայց իրականում երբեք չեն հասնում զրոյի: Օրինակ,

(f (-5) = 2 ^ {- 5} = frac {1} {2 ^ {5}} մոտավոր 0.03125 )
(f (-10) = 2 ^ {- 10} = frac {1} {2 ^ {10}} մոտավորապես 0.0009766 )
(f (-15) = 2 ^ {- 15} = frac {1} {2 ^ {- 15}} մոտ .00003052 )

Սա նկարագրում է հորիզոնական ասիմպտոտը (y = 0 ), (x ) - առանցքի վրա և ֆունկցիայի տիրույթի համար սահմանում է ստորին սահման ՝ ((0, ∞) ):

Էքսպոնենտալ ֆունկցիայի հիմքը (b ) ազդում է այն աճի տեմպի վրա: Ստորև մենք գծապատկերել ենք (y = 2 ^ {x}, y = 3 ^ {x} ) և (y = 10 ^ {x} ) առանցքների նույն հավաքածուի վրա:

Նկատի ունեցեք, որ այս բոլոր ցուցիչ գործառույթները ունեն նույն (y ) - ընդհատումը, այն է ՝ ((0, 1) ): Դա պայմանավորված է նրանով, որ (f (0) = b ^ {0} = 1 ) ցանկացած գործառույթի համար, որը սահմանված է օգտագործելով ձևը (f (x) = b ^ {x} ): Երբ գործառույթները ընթերցվում են ձախից աջ, դրանք մեկնաբանվում են որպես երկրաչափական աճ կամ աճ: Ավելին, այս ձևի ցանկացած ցուցիչ գործառույթ կունենա տիրույթ, որը բաղկացած է բոլոր իրական թվերից ((- ∞, ∞) ) և տիրույթ, որը բաղկացած է դրական արժեքներից ((0, ∞) ), որոնք սահմանափակված են հորիզոնական ասիմպտոտով ժամը (y = 0 ):

Օրինակ ( PageIndex {1} ):

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք տիրույթն ու տիրույթը. (F (x) = 10 ^ {x} +5 ):

Լուծում

Հիմքը (10 ​​) հաճախ օգտագործվում է, հատկապես գիտական ​​նշագրմամբ: Այսպիսով, (10 ​​) կոչվում է ընդհանուր հիմք: Փաստորեն, ցուցիչ գործառույթը (y = 10 ^ {x} ) այնքան կարևոր է, որ դուք կգտնեք դրան կոճակ (10 ​​^ {x} ) ՝ նվիրված ժամանակակից գիտական ​​հաշվիչների մեծ մասում: Այս օրինակում մենք ուրվագծելու ենք հիմնական գրաֆիկը (y = 10 ^ {x} ) և այնուհետեւ տեղափոխում ենք (5 ) միավոր:

Նկատի ունեցեք, որ հիմնական գրաֆիկի հորիզոնական ասիմպտոտը (y = 10 ^ {x} ) տեղափոխվեց (5 ) միավորով դեպի (y = 5 ) (ցույց է տրված գծանշված): Մի րոպե տրամադրեք ձեր հաշվիչի միջոցով գնահատելու (x ) մի քանի արժեքներ և համոզեք ինքներդ ձեզ, որ արդյունքը երբեք չի պակասի (5 ) -ից:

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((5, անպիտան) )

Հաջորդը դիտեք կոտորակային հիմքերով ցուցիչ գործառույթները (0

Աղյուսակ ( PageIndex {2} )
(x ) (y ) (f (x) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {x} ) ( գույնը {Cerulean} {Solutions} )
(-2) ( գույնը {Cerulean} {4} ) (f ձախ ( frac {1} {2} աջ) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {- 2} = frac {1 ^ {- 2}} {2 ^ {- 2}} = frac {2 ^ {2}} {1 ^ {2}} = 4 )((-2,4))
(-1) ( գույնը {Cerulean} {2} ) (f ձախ ( frac {1} {2} աջ) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {- 1} = frac {1 ^ {- 1}} {2 ^ {- 1}} = frac {2 ^ {1}} {1 ^ {1}} = 2 )((-1,2))
(0) ( գույնը {Cerulean} {1} ) (f ձախ ( frac {1} {2} աջ) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {0} = 1 )((0,1))
(1) ( գույնը {Cerulean} { frac {1} {2}} ) (f ձախ ( frac {1} {2} աջ) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {1} = frac {1} {2} ) ( ձախ (1, frac {1} {2} աջ) )
(2) ( գույնը {Cerulean} { frac {1} {4}} ) (f ձախ ( frac {1} {2} աջ) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {2} = frac {1} {4} ) ( ձախ (2, frac {1} {4} աջ) )

Գծագրման կետեր,

Կարդալով գծապատկերը ձախից աջ ՝ այն մեկնաբանվում է որպես էքսպոնենցիալ նվազում: Հիմքը ազդում է ցուցիչ գործառույթի նվազման կամ քայքայման արագության վրա: Ստորև մենք գծագրել ենք (y = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {x}, y = ձախ ( frac {1} {3} աջ) ^ {x} ), և (y = ձախ ( frac {1} {10} աջ) ^ {x} ) առանցքների նույն խմբում:

Հիշենք, որ (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ), և այդպիսով մենք կարող ենք կոտորակային հիմքերով արտահայտել ցուցիչ գործառույթներ ՝ օգտագործելով բացասական ցուցիչներ: Օրինակ,

(g (x) = ձախ ( frac {1} {2} աջ) ^ {x} = frac {1 ^ {x}} {2 ^ {x}} = frac {1} {2 ^ {x}} = 2 ^ {- x} )

Ավելին, հաշվի առնելով, որ (f (x) = 2 ^ {x} ) մենք կարող ենք տեսնել (g (x) = f (-x) = 2 ^ {- x} ) և կարող ենք դիտարկել (g ) լինել (f ) - ի արտացոլումը (y ) - առանցքի վերաբերյալ:

Ամփոփելով ՝ տրված (b> 0 )

Եվ երկու դեպքերի համար էլ

( սկիզբը {հարթեցված} գույնը {Cerulean} {տիրույթ:} & (- անպիտան, անպիտան) գույնը {Cerulean} {Range:} & (0, անպիտան) գույնը {Cerulean} {y-intercept:} & (0,1) color {Cerulean} {Asymptote:} & y = 0 end {հարթեցված} )

Ավելին, նշենք, որ գծապատկերներն անցնում են հորիզոնական գծի թեստը և, այդպիսով, ցուցիչ գործառույթները մեկ-մեկ են: Մենք օգտագործում ենք այս հիմնական գրաֆիկները, փոխակերպումներին զուգընթաց, էքսպոնենտալ գործառույթների գծապատկերները ուրվագծելու համար:

Օրինակ ( PageIndex {2} )

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք տիրույթն ու տիրույթը. (F (x) = 5 ^ {- x} -10 ):

Լուծում

Սկսեք հիմնական գծապատկերից (y = 5 ^ {- x} ) և այն տեղափոխեք ներքև (10 ​​) միավորով:

Ընդհատումը (y ) - ը ((0, −9) ) է, իսկ հորիզոնական ասիմպտոտը ՝ (y = −10 ):

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 10, անպիտան) )

Նախորդ օրինակի գրաֆիկի ընդհատումը գտնելը մնում է այս գլխի ավելի ուշ բաժնում: Առայժմ մեզ ավելի շատ հուզում է ցուցիչ գործառույթների ընդհանուր ձևը:

Օրինակ ( PageIndex {3} )

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք (g (x) = - 2 ^ {x-3} ) տիրույթի տիրույթը և տիրույթը:

Լուծում

Սկսեք հիմնական գծապատկերից (y = 2 ^ {x} ) և որոշեք վերափոխումները:

( start {array} {l} {y = 2 ^ {x}} quad quad quad color {Cerulean} {Basic : graph} {y = -2 ^ {x}} quad : : : : color {Cerulean} {Reflection : about : the : x-axis} {y = -2 ^ {x-3}} quad color {Cerulean} {Shift : right : 3 : units} end {array} )

Նկատի ունեցեք, որ հորիզոնական ասիմպտոտը մնում է նույնը բոլոր վերափոխումների համար: Ավարտելու համար մենք սովորաբար ցանկանում ենք ներառել ընդհատումը (y ): Հիշեք, որ գտնելու համար (y ) - տեղադրված ընդհատումը (x = 0 ):

( սկիզբը {հարթեցված} գ ( գույնը {սերուլական} {0} գույնը {սեվ} {)} & = - 2 ^ { գույնը {սերուլյան} {0} գույնը {սեւ} {-} 3} & = - 2 ^ {- 3} & = - frac {1} {2 ^ {3}} & = - frac {1} {8} վերջ {հարթեցված} )

Հետևաբար, (y ) - ընդհատումը ( ձախ է (0, - frac {1} {8} աջ) ):

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- անպիտան, 0) )

Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք տիրույթն ու տիրույթը. (F (x) = 2 ^ {x-1} +3 )

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((3, անպիտան) )

www.youtube.com/v/WDcObqDtE7M

Բնական հիմք էլ

Որոշ թվեր հաճախ հանդիպում են ընդհանուր ծրագրերում: Նման ծանոթ համարներից մեկը pi ( (π )) է, որը մենք գիտենք, որ տեղի է ունենում շրջանների հետ աշխատելիս: Այս իռացիոնալ թիվն ունի հատուկ կոճակ հաշվիչների (π ) վրա և մոտավորապես հինգ տասնորդական թվերի, (π ≈ 3.14159 ): Մեկ այլ կարևոր թիվ (ե ) տեղի է ունենում ցուցիչ աճի և քայքայման մոդելների հետ աշխատելիս: Դա իռացիոնալ թիվ է և մոտենում է հինգ տասնորդական վայրի, (e ≈ 2.71828 ): Այս հաստատունը, բնականաբար, հանդիպում է իրական աշխարհի շատ ծրագրերում, և այդպիսով կոչվում է բնական հիմք, Երբեմն (e ) կոչվում է Էյլերի հաստատուն ՝ ի պատիվ Լեոնհարդ Օյլերի (արտասանվում է «Յուղ»):


Նկար ( PageIndex {14} ): Լեոնհարդ Օյլեր (1707-1783)

Փաստորեն, բնական ցուցիչ գործառույթ.

(f (x) = e ^ {x} )

այնքան կարևոր է, որ ցանկացած ժամանակակից գիտական ​​հաշվիչի վրա դրանում կգտնեք (e ^ {x} ) կոճակ: Այս բաժնում մենք շահագրգռված ենք գնահատել տրված իրական թվերի բնական ցուցիչ ֆունկցիան և ուրվագծել դրա գրաֆիկը: Հաշվիչ օգտագործելով (f (x) = e ^ {x} ) որտեղ սահմանված (x = −2 ) սահմանված բնական ցուցիչ գործառույթը գնահատելու համար, գուցե հարկ լինի կիրառել հերթափոխի կոճակը: Բազմաթիվ գիտական ​​հաշվիչների վրա խնամքը կցուցադրվի հետևյալ կերպ.

(f (-2) = e ^ { սեպ} (- 2) մոտավորապես 0.13534 )

Սովորելուց հետո, թե ինչպես օգտագործել ձեր հատուկ հաշվիչը, այժմ կարող եք գծապատկերել գծերը ՝ գծագրելով միավորներ: (Կլորացրեք մոտակա հարյուրերորդերորդ մասը):

Աղյուսակ ( PageIndex {3} )
(x ) (y ) (f (x) = e ^ {x} ) ( գույնը {Cerulean} {Solutions} )
(-2) ( գույնը {Cerulean} {0.14} ) (f (-2) = e ^ {- 2} = 0.14 )((-2,0.14))
(-1) ( գույնը {Cerulean} {0.37} ) (f (-1) = e ^ {- 1} = 0.37 )((-1,0.37))
(0) ( գույնը {Cerulean} {1} ) (f (0) = e ^ {0} = 1 )((0,1))
(1) ( գույնը {Cerulean} {2.72} ) (f (1) = e ^ {1} = 2.72 )((1,2.72))
(2) ( գույնը {Cerulean} {7.39} ) (f (2) = e ^ {2} = 7.39 )((2,7.39))

Գծագրիր կետերը և գծագրիր գծապատկերը:

Նշենք, որ գործառույթը նման է (y = 3 ^ {x} ) գրաֆիկին: Դոմենը բաղկացած է բոլոր իրական թվերից, իսկ միջակայքը ՝ բոլոր դրական իրական թվերից: (Y = 0 ) - ի վրա կա ասիմպտոտ և (y ) - ընդհատում ` ((0, 1) ) կետում: Փոխակերպումները կարող ենք օգտագործել ավելի բարդ ցուցիչ գործառույթների գծապատկերը ուրվագծելու համար:

Օրինակ ( PageIndex {4} ):

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք տիրույթն ու տիրույթը. (G (x) = e ^ {x + 2} -3 ):

Լուծում

Բացահայտեք հիմնական վերափոխումները:

( start {array} {l} {y = e ^ {x}} quad quad quad : : : color {Cerulean} {Basic : graph} {y = e ^ { x + 2}} quad quad : : : color {Cerulean} {Shift : left : 2 : units} {y = e ^ {x + 2} -3} : : : : color {Cerulean} {Shift : down : 3 : units} end {array} )

Որոշելու համար (y ) - ընդհատումների հավաքածու (x = 0 ):

Ուստի (y ) - ընդհատումը ((0, e ^ {2} - 3) ) է:

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 3, անպիտան) )

Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} )

Գծապատկերեք ուրվագիծը և որոշեք տիրույթն ու տիրույթը. (F (x) = e ^ {- x} +2 ):

Պատասխանել

Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((2, անպիտան) )

www.youtube.com/v/FkwBpg2Xpb8

Բարդ հետաքրքրության բանաձևեր

Էքսպոնենտալ գործառույթները հայտնվում են բանաձևերում, որոնք օգտագործվում են սովորական խնայողական հաշիվներում վաստակած տոկոսները հաշվարկելու համար: Բաղադրյալ տոկոսներն առաջանում են, երբ հաջորդ ժամանակահատվածի տոկոսները հաշվարկելուց առաջ հիմնական ներդրմանը ավելացվում է մեկ ժամանակահատվածի համար կուտակված տոկոսները: Mannerամանակի ընթացքում այս եղանակով կուտակված գումարը մոդելավորվում է բաղադրություն հետաքրքրությունը բանաձև6:

(A (t) = P ձախ (1+ frac {r} {n} աջ) ^ {n t} )

Այստեղ (Ա ) գումարը կախված է այն բանից, թե երբ տարիքում մայր գումարը (Պ ) կուտակում է բարդ տոկոսադրույքներ տարեկան տոկոսադրույքով (r ): Արժեքը (n ) ներկայացնում է տարվա ընթացքում տոկոսագումարների մի քանի անգամ:

Օրինակ ( PageIndex {5} ):

$ (500) ներդրում է արվում (6 ) տարվա CD- ում, որն ամսական բարդացնում է (4 frac {1} {2} )% տարեկան տոկոսադրույք: Որքա՞ն արժե CD- ն (6 ) - տարվա ժամկետի ավարտին:

Լուծում

Այստեղ մայր գումարը (P = ) $ (500 ), տոկոսադրույքը (r = 4 frac {1} {2} )% (= 0,045 ), և քանի որ տոկոսադրույքը բարդանում է ամսական, (n = 12 ): Ներդրումը մոդելավորվում է հետևյալով.

(A (t) = 500 ձախ (1+ frac {0.045} {12} աջ) ^ {12 t} )

Հաշվի գումարը որոշելու համար (6 ) տարի հետո գնահատել (A (6) ) և կլորացնել մոտակա ցենտ:

( սկիզբը {հավասարեցում} A ( գույնը {Cerulean} {6} գույնը {սեւ} {)} & = 500 ձախ (1+ frac {0,045} {12} աջ) ^ {12 ( գույնը {Cerulean} {6} գույնը {սեւ} {)}} & = 500 (1.00375) ^ {72} & = 654.65 վերջ {հարթեցված} )

Պատասխանել

CD- ի արժեքը կլինի $ (654.65 ) (6 ) - տարի ժամկետի ավարտին:

Հաջորդը մենք ուսումնասիրում ենք բանաձևում (n ) ավելացման հետևանքները: Հստակության համար մենք թույլ ենք տալիս (P ) և (r ) հավասար (1 ) և համապատասխանաբար հաշվարկել:

Աղյուսակ ( PageIndex {4} )
Տարեկան բաղադրիչ ( ձախ (1+ frac {1} {n} աջ) ^ {n} )
Տարեկան ((n = 1) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {1}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {1}} գույն {black} {= } 2 )
Կիսամյակային ((n = 2) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {2}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {2}} գույն {black} {= } 2.25 )
Եռամսյակային ((n = 4) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {4}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {4}} գույն {black} { } 2.44140 )
Ամսական ((n = 12) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {12}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {12}} գույն {black} { } 2.61304 )
Շաբաթական ((n = 52) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {52}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {52}} գույն {black} { } 2.69260 )
Օրական ((n = 365) ) ( color {black} { ձախ (1+ frac {1} { color {Cerulean} {365}} աջ)} ^ { color {Cerulean} {365}} գույն {black} { } 2.71457 )
Ամեն ժամ ((n = 8760) ) ( գույն {սեվ} { ձախ (1+ ֆրակ {1} { գույն {Սերուլյան} {8760}} աջ)} ^ { գույն {Սերուլյան} {8760}} գույն {սեւ} { } 2.71813 )

Շարունակելով այս օրինակը, քանի որ (n ) ավելացնում է ամեն րոպե կամ նույնիսկ ամեն վայրկյան բարդությունը, մենք կարող ենք տեսնել, որ արդյունքը ձգտում է դեպի բնական հիմք (e ≈ 2.71828 ): Յուրաքանչյուր ակնթարթային բարդ հետաքրքրությունը տանում է դեպի անընդհատ բարդացնում է հետաքրքրությունը բանաձև7,

(A (t) = P e ^ {rt} )

Այստեղ (P ) ներկայացնում է ներդրված սկզբնական մայր գումարը, (r ) ներկայացնում է տարեկան տոկոսադրույքը, և (t ) ներկայացնում է այն տարիները, երբ ներդրումը թույլատրվում է շարունակաբար բարդացնել տոկոսադրույքներ:

Օրինակ ( PageIndex {6} ):

$ (500) ներդրում է արվում (6 ) տարվա CD- ում, որը շահում է (4 frac {1} {2} )% տարեկան տոկոսադրույք, որը շարունակաբար բարդանում է: Որքա՞ն արժե CD- ն (6 ) - տարվա ժամկետի ավարտին:

Լուծում

Այստեղ մայր գումարը (P = ) $ (500 ) և տոկոսադրույքը (r = 4 frac {1} {2} )% (= 0,045 ): Քանի որ հետաքրքրությունը շարունակաբար բարդանում է, մենք կօգտագործենք բանաձեւը (A (t) = Pe ^ {rt} ): Ներդրումը մոդելավորվում է հետևյալով.

(A (t) = 500 e ^ {0,045 t} )

(6 ) տարի անց հաշվի մեջ գումարը որոշելու համար գնահատեք (A (6) ) և կլորացրեք մոտակա ցենտ:

( սկիզբը {հավասարեցում} A ( գույնը {Cerulean} {6} գույնը {սեւ} {)} & = 500 e ^ {0.045 ( գույնը {Cerulean} {6} գույնը {սեւ} {)}} & = 500 e ^ {0.27} & = 654.98 վերջ {հարթեցված} )

Պատասխանել

CD- ի արժեքը կլինի $ (654.98 ) (6 ) - տարի ժամկետի ավարտին:

Համեմատեք նախորդ երկու օրինակները և նշեք, որ շարունակաբար խառնուրդը կարող է այնքան օգտակար չլինել, որքան թվում է: Չնայած ավելի լավ է ավելի հաճախ բարդ տոկոսներ կազմել, բայց տարբերությունն այդքան էլ խորը չէ: Իհարկե, տոկոսադրույքը վերջնական արդյունքի շատ ավելի մեծ գործոն է:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {3} )

$ ((1200)) սկավառակ, որը շարունակաբար շահում է տարեկան (5.2 )% տոկոսադրույք, ինչքա՞ն արժի (10 ​​) տարվա ժամկետի ավարտին:

Պատասխանել

$(2,018.43)

www.youtube.com/v/1alUOjTq5wc

Հիմնական թռիչքներ

  • Էքսպոնենտալ գործառույթներն ունեն սահմանումներ ձևի (f (x) = b ^ {x} ) որտեղ (b> 0 ) և (b ≠ 1 ) ձևի: Դոմենը բաղկացած է բոլոր իրական թվերից ((- ∞, ∞) ), իսկ տիրույթը բաղկացած է դրական թվերից ((0, ∞) ): Բացի այդ, այս ձևի բոլոր ցուցիչ գործառույթները ունեն (y ) - ընդհատում ((0, 1) ) և ասիմպտոտիկ են (x ) - առանցքի համար:
  • Եթե ​​ցուցիչ ֆունկցիայի հիմքը ավելի մեծ է, քան (1 (b> 1) ), ապա դրա գրաֆիկը մեծանում կամ աճում է, երբ ընթերցվում է ձախից աջ:
  • Եթե ​​ցուցիչ ֆունկցիայի հիմքը պատշաճ կոտորակ է ((0
  • (10 ​​) թիվը կոչվում է ընդհանուր հիմք, իսկ համարը (e ) կոչվում է բնական հիմք:
  • (F (x) = e ^ {x} ) - ով սահմանված բնական ցուցիչ ֆունկցիան ունի գրաֆիկ, որը շատ նման է (g (x) = 3 ^ {x} ) գրաֆիկին:
  • Էքսպոնենտալ գործառույթները մեկ-մեկ են:

Exորավարժություններ ( PageIndex {4} )

Գնահատել

  1. (f (x) = 3 ^ {x} ) որտեղ (f (-2), f (0), ) և (f (2) ):
  2. (f (x) = 10 ^ {x} ) որտեղ (f (-1), f (0), ) և (f (1) ):
  3. (g (x) = ձախ ( frac {1} {3} աջ) ^ {x} ) որտեղ (g (-1), g (0), ) և (g (3) )
  4. (g (x) = ձախ ( frac {3} {4} աջ) ^ {x} ) որտեղ (g (-2), g (-1), ) և (g (0 ) ):
  5. (h (x) = 9 ^ {- x} ) որտեղ (h (-1), h (0), ) և (h ձախ ( frac {1} {2} աջ) )
  6. (h (x) = 4 ^ {- x} ) որտեղ (h (-1), h ձախ (- frac {1} {2} աջ), ) և (h (0) )
  7. (f (x) = - 2 ^ {x} +1 ) որտեղ (f (-1), f (0), ) և (f (3) ):
  8. (f (x) = 2-3 ^ {x} ) որտեղ (f (-1), f (0), ) և (f (2) ):
  9. (g (x) = 10 ^ {- x} +20 ) որտեղ (g (-2), g (-1), ) և (g (0) ):
  10. (g (x) = 1-2 ^ {- x} ) որտեղ (g (-1), g (0), ) և (g (1) ):
Պատասխանել

1. (f (-2) = frac {1} {9}, f (0) = 1, f (2) = 9 )

3. (g (-1) = 3, g (0) = 1, g (3) = frac {1} {27} )

5. (h (-1) = 9, h (0) = 1, h ձախ ( frac {1} {2} աջ) = frac {1} {3} )

7. (f (-1) = frac {1} {2}, f (0) = 0, f (3) = - 7 )

9. (գ (-2) = 120, գ (-1) = 30, գ (0) = 21 )

Ercորավարժություններ ( PageIndex {5} )

Օգտագործեք հաշվիչ `հետևյալը մոտավոր հարյուրերորդերորդի մոտավոր գնահատելու համար:

  1. (f (x) = 2 ^ {x} +5 ) որտեղ (f (2.5) ):
  2. (f (x) = 3 ^ {x} -10 ) որտեղ (f (3.2) ):
  3. (g (x) = 4 ^ {x} ) որտեղ (g ( sqrt {2}) ):
  4. (g (x) = 5 ^ {x} -1 ) որտեղ (g ( sqrt {3}) ):
  5. (h (x) = 10 ^ {x} ) որտեղ (h ( pi) ):
  6. (h (x) = 10 ^ {x} + 1 ) որտեղ (h ձախ ( frac { pi} {3} աջ) ):
  7. (f (x) = 10 ^ {- x} -2 ) որտեղ (f (1.5) ):
  8. (f (x) = 5 ^ {- x} +3 ) որտեղ (f (1.3) ):
  9. (f (x) = ձախ ( frac {2} {3} աջ) ^ {x} +1 ) որտեղ (f (-2.7) ):
  10. (f (x) = ձախ ( frac {3} {5} աջ) ^ {- x} -1 ) որտեղ (f (1.4) ):
Պատասխանել

1. (10.66)

3. (7.10)

5. (1385.46)

7. (−1.97)

9. (3.99)

Exորավարժություններ ( PageIndex {6} )

Ուրվագծեք գործառույթը և որոշեք տիրույթը և տիրույթը: Հորիզոնական ասիմպտոտը գծեք գծված գծով:

  1. (f (x) = 4 ^ {x} )
  2. (g (x) = 3 ^ {x} )
  3. (f (x) = 4 ^ {x} +2 )
  4. (f (x) = 3 ^ {x} -6 )
  5. (f (x) = 2 ^ {x-2} )
  6. (f (x) = 4 ^ {x + 2} )
  7. (f (x) = 3 ^ {x + 1} -4 )
  8. (f (x) = 10 ^ {x-4} +2 )
  9. (h (x) = 2 ^ {x-3} -2 )
  10. (h (x) = 3 ^ {x + 2} +4 )
  11. (f (x) = ձախ ( frac {1} {4} աջ) ^ {x} )
  12. (h (x) = ձախ ( frac {1} {3} աջ) ^ {x} )
  13. (f (x) = ձախ ( frac {1} {4} աջ) ^ {x} -2 )
  14. (h (x) = ձախ ( frac {1} {3} աջ) ^ {x} +2 )
  15. (g (x) = 2 ^ {- x} -3 )
  16. (g (x) = 3 ^ {- x} +1 )
  17. (f (x) = 6-10 ^ {- x} )
  18. (g (x) = 5-4 ^ {- x} )
  19. (f (x) = 5-2 ^ {x} )
  20. (f (x) = 3-3 ^ {x} )
Պատասխանել

1. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((0, անպիտան) )

3. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((2, անպիտան) )

5. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((0, անպիտան) )

7. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Դաշտը ՝ ((- 4, անպիտան) )

9. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 2, անպիտան) )

11. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((0, անպիտան) )

13. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 2, անպիտան) )

15. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 3, անպիտան) )

17. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- անպիտան, 6) )

19. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- անպիտան, 5) )

Exորավարժություններ ( PageIndex {7} )

Տրված գործառույթի համար գտեք (f (−1), f (0) ) և (f ( frac {3} {2}) ): Անհրաժեշտության դեպքում օգտագործեք հաշվիչ ՝ մոտավոր հարյուրերորդական մոտավորելու համար:

  1. (f (x) = e ^ {x} +2 )
  2. (f (x) = e ^ {x} -4 )
  3. (f (x) = 5-3 e ^ {x} )
  4. (f (x) = e ^ {- x} +3 )
  5. (f (x) = 1 + e ^ {- x} )
  6. (f (x) = 3-2 e ^ {- x} )
  7. (f (x) = e ^ {- 2 x} +2 )
  8. (f (x) = e ^ {- x ^ {2}} - 1 )
Պատասխանել

1. (f (-1) մոտ 2.37, f (0) = 3, f ձախ ( frac {3} {2} աջ) մոտ 6.48 )

3. (f (-1) մոտ 3.90, f (0) = 2, f ձախ ( frac {3} {2} աջ) մոտ -8,45 )

5. (f (-1) մոտ 3.72, f (0) = 2, f ձախ ( frac {3} {2} աջ) մոտ 1.22 )

7. (f (-1) մոտ 9,39, f (0) = 3, f ձախ ( frac {3} {2} աջ) մոտ 2,05 )

Ercորավարժություններ ( PageIndex {8} )

Ուրվագծեք գործառույթը և որոշեք տիրույթը և տիրույթը: Հորիզոնական ասիմպտոտը գծեք գծված գծով:

  1. (f (x) = e ^ {x} -3 )
  2. (f (x) = e ^ {x} +2 )
  3. (f (x) = e ^ {x + 1} )
  4. (f (x) = e ^ {x-3} )
  5. (f (x) = e ^ {x-2} +1 )
  6. (f (x) = e ^ {x + 2} -1 )
  7. (g (x) = - e ^ {x} )
  8. (g (x) = e ^ {- x} )
  9. (h (x) = - e ^ {x + 1} )
  10. (h (x) = - e ^ {x} +3 )
Պատասխանել

1. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- 3, անպիտան) )

3. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((0, անպիտան) )

5. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((1, անպիտան) )

7. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- անպիտան, 0) )

9. Դոմեն ՝ ((- անպիտան, անպիտան) ); Շարքը ՝ ((- անպիտան, 0) )

Exորավարժություններ ( PageIndex {9} )

  1. Jimիմը $ ($ 750) ներդրեց (3 ) տարվա CD- ում, որն ամսական ավելացնում է (4,2 )% տարեկան տոկոսագումար: Որքա՞ն արժե CD- ն (3 ) - տարվա ժամկետի ավարտին:
  2. Joseոզեն ներդրեց $ (2450) դոլար (4 ) տարվա CD- ում, որը տարեկան (% 3,6) տոկոս տոկոսներ է վաստակում, որն ավելանում է կիսամյակային կտրվածքով: Որքա՞ն արժե CD- ն (4 ) - տարվա ժամկետի ավարտին:
  3. Jane- ն ունի $ (5,350 ) խնայողություն հաշվում տարեկան (3 frac {5} {8} )% տոկոս տոկոսադրույքով, որը գումարվում է եռամսյակային կտրվածքով: Որքա՞ն կլինի հաշվում (5 ) տարվա վերջում:
  4. Բիլն ունի $ (12,400 ) սովորական խնայողական հաշվի տարեկան եկամտի (4 frac {2} {3} )% տոկոսադրույք, որը ավելանում է ամսական: Որքա՞ն կլինի հաշվում (3 ) տարվա վերջում:
  5. Եթե ​​$ (85,200 ) ներդրում է կատարվել այն հաշվին, որը շահում է տարեկան (5,8)% տարեկան տոկոսադրույք, որը կազմվում է եռամսյակային կտրվածքով, ապա որքա՞ն տոկոս է հաշվարկվում առաջին (3 ) տարիներին:
  6. Եթե ​​$ (124,000 ) ներդրվում է ամսական u003d 4,6% տոկոս տոկոսադրույքով աշխատող հաշվի մեջ, ապա որքա՞ն տոկոս է հաշվարկվում առաջին (2 ) տարիներին:
  7. Բիլը ներդրեց $ (1,400 ) (3 ) տարվա CD- ում, որը շահում է (4,2 )% տարեկան տոկոսադրույք, որը շարունակաբար բարդանում է: Որքա՞ն արժե CD- ն (3 ) - տարվա ժամկետի ավարտին:
  8. Բրուքլինը ներդրեց $ (2,850 ) (5 ) տարվա CD- ում, որը շահում է տարեկան ((5,3))% տոկոսադրույք, որը շարունակաբար բարդանում է: Որքա՞ն կարժենա CD- ն (5 ) տարվա վերջում:
  9. Օմարն ունի $ (4,200 ) խնայողություն հաշվի մեջ, որը տարեկան շահույթով շահում է (4 frac {3} {8} )% տոկոսադրույքով, որը շարունակաբար բարդանում է: Որքա՞ն կլինի հաշվում (2 frac {1} {2} ) տարվա վերջում:
  10. Նենսին ունի $ (8,325 ) խնայողություն հաշվի մեջ, որը տարեկան շահույթով շահում է (5 frac {7} {8} )% տոկոսադրույքով, որը շարունակաբար բարդանում է: Ինչքա՞ն կլինի հաշիվը (5 frac {1} {2} ) տարվա վերջում:
  11. Եթե ​​$ (12,500 ) ներդրվում է u200b u200b անընդմեջ (3,8 )% տոկոս տոկոսադրույքով աշխատող հաշվի մեջ, ապա որքա՞ն տոկոս է հաշվարկվում առաջին (10 ​​) տարիներին:
  12. Եթե ​​$ (220,000 ) ներդրվում է u200b u200b տարեկան (4,5 )% տոկոս տոկոսադրույքով աշխատող հաշվի մեջ, որը շարունակաբար բարդանում է, ապա որքա՞ն տոկոս է հաշվարկվում առաջին (2 ) տարիներին:
  13. Որոշակի փոքր քաղաքի բնակչությունն աճում է ըստ (P (t) = 12,500 (1,02) ^ {t} ) գործառույթի, որտեղ (t ) ներկայացնում է տարիներ անցյալ մարդահամարից հետո: Օգտագործեք գործառույթը ՝ մարդահամարի օրը բնակչության թիվը որոշելու համար (երբ (t = 0 )) և գնահատեք բնակչությունը այդ ժամանակից (6 ) տարի անց:
  14. Որոշակի փոքր քաղաքի բնակչությունը նվազում է ՝ համաձայն գործառույթի (P (t) = 22,300 (0,982) ^ {t} ) գործառույթի, որտեղ (t ) ներկայացնում է ժամանակը վերջին մարդահամարի տարիներից: Օգտագործեք գործառույթը ՝ մարդահամարի օրը բնակչության թիվը որոշելու համար (երբ (t = 0 )) և գնահատեք բնակչությունը այդ ժամանակից (6 ) տարի անց:
  15. Նոր մեքենայի դոլարով նվազող արժեքը մոդելավորվում է (V (t) = 28,000 (0,84) ^ {t} ) բանաձևով, որտեղ (t ) ներկայացնում է մեքենան ձեռք բերելուց հետո տարիների քանակը: Օգտագործեք բանաձևը ՝ որոշելու համար մեքենայի արժեքը, երբ դա նոր էր ( (t = 0 )) և արժեքը (4 ) տարի անց:
  16. Քոլեջի կայքի եզակի այցելուների քանակը կարող է մոտավորվել (N (t) = 410 (1.32) ^ {t} ) բանաձևով, որտեղ (t ) ներկայացնում է 1997 թվականից հետո կայքի ստեղծման տարիների քանակը: , Մոտավոր գնահատեք քոլեջի կայքի եզակի այցելուների քանակը 2020 թվականին:
  17. Եթե ​​չհսկվի, գրիպի վիրուսի նոր շտամը կարող է շատ արագ մեկ անձից մյուսներին տարածվել: Տուժած մարդկանց թիվը կարող է մոդելավորվել օգտագործելով (P (t) = e ^ {0.22 t} ) բանաձևը, որտեղ (t ) ներկայացնում է վիրուսի թույլատրված տարածումը չստուգված օրերի քանակը: Գնահատեք վիրուսով վարակվածների թիվը (30 ) օր հետո և (60 ) օր հետո:
  18. Եթե ​​չստուգվի, (24 ) վայրի անգլիական նապաստակների պոպուլյացիան կարող է աճել ըստ բանաձևի (P (t) = 24 e ^ {0.19 t} ), որտեղ ժամանակը (t ) չափվում է ամիսներով: Քանի՞ նապաստակ կլիներ (3 frac {1} {2} ) տարիներ անց:
  19. Որոշակի քաղաքի բնակչությունը 1975 թվականին կազմում էր (65,000 ) մարդ և աճում էր երկրաչափականորեն տարեկան (1,7)% տոկոսադրույքով: Այն ժամանակ բնակչության աճը մոդելավորվում էր (P (t) = 65,000e ^ {0,017t} ) բանաձևով, որտեղ (t ) ներկայացնում էր 1975 թվականից սկսած տարիների քանակը: 2000 թվականին մարդահամարը որոշեց որ իրական բնակչությունը կազմում էր (104,250 ) մարդ: Ո՞ր բնակչության համար էր կանխատեսում մոդելը 2000 թվականի համար, և ո՞րն էր իրական սխալը:
  20. Ռադիոակտիվ քայքայման պատճառով, Յոդ -131-ի (10 ​​) միլիգրամ նմուշի քանակը նվազում է ըստ բանաձևի (A (t) = 10e ^ {- 0.087t} ) բանաձևի, որտեղ (t ) ներկայացնում է չափված ժամանակը օրերով Նմուշի ո՞ր մասն է մնացել (10 ​​) օր հետո:
  21. Բակտերիաների նմուշում բջիջների քանակը մոտավոր է ըստ լոգիստիկ աճի մոդելի (N (t) = frac {1.2 անգամ 10 ^ {5}} {1 + 9 e ^ {- 0.32 t}} ) որտեղ (t ) ներկայացնում է ժամանակը ժամերով: Որոշեք բջիջների նախնական քանակը և ապա որոշեք բջիջների քանակը (6 ) ժամ անց:
  22. Ապրանքի շուկայական մասնաբաժինը, որպես տոկոս, մոտավորվում է (P (t) = frac {100} {2 + e ^ {- 0.44 t}} ) բանաձևով, որտեղ (t ) ներկայացնում է թիվը ամիսներ անց ագրեսիվ գովազդային արշավ սկսելուց հետո: Որքանո՞վ կարող ենք ակնկալել, որ շուկայական մասնաբաժինը կավելանա գովազդի առաջին երեք ամիսներից հետո:
Պատասխանել

1. $(850.52)

3. $(6,407.89)

5. $(16,066.13)

7. $(1,588.00)

9. $(4,685.44)

11. $(5,778.56)

13. Սկզբնական բնակչություն ՝ (12,500 ); Բնակչություն (6 ) տարի անց ՝ (14,077 )

15. Նոր ՝ $ (28,000 ); (4 ) տարի անց ՝ $ (13,940,40 )

17. (30 ) օր հետո ՝ (735 ) մարդ; (60 ) օր հետո ՝ (540,365 ) մարդ

19. Մոդել ՝ (99,423 ) մարդ; սխալ ՝ (4,827 ) մարդ

21. Սկզբում կան (12,000 ) բջիջ և (6 ) ժամ հետո կան (51,736 ) բջիջ:

Exորավարժություններ ( PageIndex {10} )

  1. Ինչու՞ էքսպանենցիալ գործառույթների սահմանման մեջ (b = 1 ) բացառված որպես հիմք: Բացատրեք
  2. Բացատրեք, թե ինչու (y = b ^ {x} ) ձևի ցուցիչ գործառույթը երբեք չի կարող բացասական լինել:
  3. Ուսումնասիրեք և քննարկեք բարդ տոկոսադրույքի բանաձևի ածանցումը:
  4. Ուսումնասիրեք և քննարկեք լոգիստիկ աճի մոդելը: Հղում տրամադրեք այս թեմայի վերաբերյալ ավելի շատ տեղեկատվության:
  5. Ուսումնասիրեք և քննարկեք Լեոնհարդ Օյլերի կյանքն ու ներդրումները:
Պատասխանել

1. Պատասխանը կարող է տարբեր լինել

3. Պատասխանը կարող է տարբեր լինել

5. Պատասխանը կարող է տարբեր լինել

Ծանոթագրություններ

5(Անկացած գործառույթ ՝ (f (x) = b ^ {x} ) ձևի սահմանմամբ, որտեղ (b> 0 ) և (b ≠ 1 ):

6Բանաձև, որը տալիս է գումարի կուտակած գումարը ժամանակի ընթացքում տոկոսագումարներ վաստակելով. (A (t) = P ձախ (1+ frac {r} {n} աջ) ^ {n t} ):

7Մի բանաձև, որը տալիս է անընդհատ բարդ տոկոսներ վաստակելու միջոցով կուտակված գումարը. (A (t) = Pe ^ {rt} ):


Դիտեք տեսանյութը: Հաջողության բանաձև-մաթեմատիկա (Դեկտեմբեր 2021).