Հոդվածներ

3.1. Կոֆակտորների ընդլայնում


Կոֆակտորի ընդլայնում

[Վրկ. 2_4] բաժնում մենք սահմանեցինք (2 անգամ 2 ) մատրիցայի որոշիչ (A = leftB start {array} {cc} a & b c & d end {array} rightB ) ՝1 [ func {det} A = ձախ | start {array} {cc} a & b c & d end {array} right | = ad - bc ] և ցույց տվեց (օրինակով [exa: 004261]), որ (A ) ունի հակադարձ, եթե և միայն եթե det (A neq 0 ): Այս գլխի նպատակներից մեկը դա անելն է ցանկացած քառակուսի մատրիցա Ա. (1 անգամ 1 ) մատրիցների համար դժվարություն չկա. Եթե (A = leftB a rightB ), մենք սահմանում ենք ( func {det} A = func {det} leftB a rightB = a ) և նշենք, որ (A ) անշրջելի է, եթե և միայն, եթե (a neq 0 ):

Եթե ​​ (A ) (3 անգամ 3 ) և անշրջելի է, մենք փնտրում ենք ( func {det} A ) - ի համապատասխան սահմանում ՝ փորձելով (A ) տողը հասցնել նույնականության մատրիցին ըստ տողի գործողություններ: Առաջին սյունը զրո չէ ( (A ) անշրջելի է); ենթադրենք, որ (1, 1) մուտքը (a ) զրո չէ: Դրանից հետո տողի գործողությունները տալիս են [A = leftB start {array} {ccc} a & b & c d & e & f g & h & i end {array} rightB rightarrow leftB start {array} {ccc} a & b & c ads & ae & af ag & ah & ai end {array} rightB rightarrow leftB start {array} {ccc} a & b & c 0 & ae-bd & af-cd 0 & ah-bg & ai-cg end {array} rightB = leftB start {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & v & ai-cg end {array} rightB ] որտեղ (u = ae - bd ) և (v = ah - bg ): Քանի որ (A ) անշրջելի է, (u ) և (v ) դրանցից մեկը ոչ զրո է (օրինակով [exa: 004627]); ենթադրենք, որ (u neq 0 ): Ապա կրճատումն անցնում է [A rightarrow leftB start {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & v & ai-cg end {array} rightB rightarrow leftB start {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & uv & u (ai-cg) end {array} rightB rightarrow leftB start {array} {ccc} a & b & c 0 & u & af-cd 0 & 0 & w end {array} rightB ] որտեղ (w = u (ai - cg) - v ( af - cd) = a (aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi) ): Մենք սահմանում ենք [ label {eq: detdefinition} func {det} A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi ] և դիտում ենք, որ ( func {det} A neq 0 ) քանի որ ( a func {det} A = w neq 0 ) (անշրջելի է):

Ստորև բերված սահմանումը դրդելու համար հավաքեք [eq: detdefinition] հավասարության տերմինները ՝ (a ), (b ) և (c ) գրառումները ներառող (A ) տողի 1-ին շարքում. [ սկսել {հարթեցված} func {det} A = ձախ | start {array} {ccc} a & b & c d & e & f g & h & i end {array} աջ | & = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi & = a (ei-fh) - b (di-fg) + c (dh-eg) & = a ձախ | start {array} {cc} e & f h & i end {array} right | - բ ձախ | start {array} {cc} d & f g & i end {array} right | + c ձախ | start {array} {cc} d & e g & h end {array} right | end {հարթեցված} ] Այս վերջին արտահայտությունը կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ. a- ի որոշիչի հաշվարկման համար (3 անգամ 3 ) մատրիցա (A ), 1-ին շարքի յուրաքանչյուր գրառում բազմապատկել այդ նշանի տողն ու սյունը ջնջելով ստացված (2 անգամ 2 ) մատրիցի որոշիչը բազմապատկած նշանով և ավելացնել արդյունքները: Նշանները հերթափոխով իջնում ​​են 1 տողում ՝ սկսած (+ ) –ից: Այս դիտարկումն է, որ մենք ընդհանրացնում ենք ստորև:

007706 [ start {հավասարեցված} ֆունկցիա {դետ} ձախԲ սկիզբ {զանգված} {rrr} 2 & 3 & 7 - 4 & 0 & 6 1 & 5 & 0 վերջ {զանգված} rightB & = 2 ձախ | start {array} {rr} 0 & 6 5 & 0 end {array} աջ | - 3 ձախ | start {array} {rr} -4 & 6 1 & 0 end {array} աջ | + 7 ձախ | start {array} {rr} -4 & 0 1 & 5 end {array} right | & = 2 (-30) - 3 (-6) + 7 (-20) & = -182 վերջ {հարթեցված} ]

Սա ենթադրում է ցանկացած քառակուսի մատրիցայի որոշիչի որոշման ինդուկտիվ մեթոդ `մեկ չափից փոքր մատրիցների որոշիչների առումով: Գաղափարն է սահմանել (3 անգամ 3 ) մատրիցների որոշիչները ՝ (2 անգամ 2 ) մատրիցների որոշիչների տեսանկյունից, ապա մենք անում ենք (4 4 անգամ 4 ) մատրիցների ՝ (3 ) մատրիցների առումով: անգամ 3 ) մատրիցներ և այլն:

Սա նկարագրելու համար մեզ անհրաժեշտ է որոշակի տերմինաբանություն:

Matrix007711- ի համաֆակտորները Ենթադրենք, որ սահմանվել են ((n - 1) անգամ (n - 1) ) մատրիցների որոշիչներ: Հաշվի առնելով (n անգամ n ) մատրիցան (A ), թող [A_ {ij} mbox {նշի} (n - 1) անգամ (n - 1) mbox {մատրիցը ստացված} A- ից mbox {ջնջելով տողը} i mbox {և սյունակը} ժ: ] Հետո ((i, j) ) -կոֆակտոր (c_ {ij} (A) ) ստեղնը սահմանված է [c_ {ij} (A) = (-1) ^ {i + j} func {det} (A_ {ij}) ] Այստեղ ((- 1) ^ {i + j} ) կոչվում է նշան ((i, j) ) - դիրքի:

Դիրքի նշանը հստակորեն (1 ) կամ (- 1 ) է, և այն հիշելու համար օգտակար է հետևյալ գծապատկերը. [ LeftB start {array} {ccccc} + & - & + & - - & cdots - & + & - & + & cdots + & - & + & - & cdots - & + & - & + & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & end {array} rightB ] Նկատի ունեցեք, որ նշանները հերթափոխվում են յուրաքանչյուր շարքի և սյունակի երկայնքով ՝ վերին ձախ անկյունում (+ ):

007723 Հաջորդ մատրիցում գտեք դիրքերի ((1, 2), (3, 1) ) և ((2, 3) ) համաֆակտորները: [A = leftB start {array} {rrr} 3 & -1 & 6 5 & 2 & 7 8 & 9 & 4 end {array} rightB ]

Այստեղ (A_ {12} ) մատրիցան է ( leftB start {array} {rr} 5 & 7 8 & 4 end {array} rightB ), որը մնում է, երբ շարքը (1 ) և (2 ) սյունակը ջնջվում են: Դիրքի նշանը ((1, 2) ) է ((- 1) ^ {1 + 2} = -1 ) (սա նաև նշանի նշանն է ՝ ((1, 2) ) - մուտքը) դիագրամ), ուստի ((1, 2) ) - համաֆակտորը [c_ {12} (A) = (-1) ^ {1 + 2} ձախ | start {array} {rr} 5 & 7 8 & 4 end {array} right | = (- 1) (5 cdot 4 - 7 cdot 8) = (-1) (- 36) = 36 ] Դառնալով դիրքի ((3, 1) ) ՝ գտնում ենք [c_ {31} (A) = (-1) ^ {3 + 1} A_ {31} = (-1) ^ {3 +1} ձախ | start {array} {rr} -1 & 6 2 & 7 end {array} right | = (+ 1) (- 7-12) = - 19 ] Վերջապես, ((2, 3 ) ) - կոֆակտորը [c_ {23} (A) = (-1) ^ {2 + 3} A_ {23} = (-1) ^ {2 + 3} ձախ է | start {array} {rr} 3 & -1 8 & 9 end {array} right | = (- 1) (27 + 8) = - 35 ] Ակնհայտ է, որ այլ համաֆակտորներ կարելի է գտնել. կան ինը ընդհանուր առմամբ ՝ մեկ մատրիցայի յուրաքանչյուր դիրքի համար:

Այժմ կարող ենք սահմանել ( func {det} A ) ցանկացած քառակուսի մատրիցայի համար (A )

Matrix007740- ի կոֆակտորի ընդլայնումը Ենթադրենք, որ սահմանված են ((n - 1) անգամ (n - 1) ) մատրիցների որոշիչներ: Եթե ​​ (A = leftB a_ {ij} rightB ) = (n անգամ n ) սահմանեք [ func {det} A = a_ {11} c_ {11} (A) + a_ {12} c_ {12} (A) + cdots + a_ {1n} c_ {1n} (A) ] Սա կոչվում է կոֆակտորի ընդլայնում ( func {det} A ) շարքի երկայնքով (1 ):

Այն պնդում է, որ ( func {det} A ) կարելի է հաշվել (1 ) տողի գրառումները բազմապատկած համապատասխան համաֆակտորներով և ավելացնելով արդյունքները: Theարմանալին այն է, որ ( func {det} A ) կարելի է հաշվարկել ՝ զուգահեռաբար վերցնելով կոֆակտորի ընդլայնումը ցանկացած տող կամ սյունակՊարզապես բազմապատկեք այդ շարքի կամ սյունակի յուրաքանչյուր մուտքը համապատասխան կոֆակտորով և ավելացրեք:

Կոֆակտորի ընդլայնման թեորեմ 007747 (n անգամ n ) մատրիցի որոշիչը (A ) կարող է հաշվարկվել ՝ օգտագործելով կոֆակտորի ընդլայնումը (A ) ցանկացած շարքի կամ սյունակի երկայնքով: Այսինքն ՝ ( func {det} A ) կարելի է հաշվարկել ՝ շարքի կամ սյունակի յուրաքանչյուր գրառում բազմապատկելով համապատասխան կոֆակտորով և ավելացնելով արդյունքները:

Ապացույցը կներկայացվի բաժնում [վրկ. 3_6]:

007753 Հաշվիր (A = leftB start {array} {rrr} 3 & 4 & 5 1 & 7 & 2 9 & 8 & -6 end {array} rightB ) որոշիչի:

Առաջին շարքի երկայնքով համաֆակտորների ընդլայնումը հետևյալն է. [ Start {հավասարվել} ֆունկցիա {դետ} Ա & = 3 գ_ {11} (Ա) + 4 գ_ {12} (Ա) + 5 գ_ {13} (Ա) & = 3 ձախ | start {array} {rr} 7 & 2 8 & -6 end {array} աջ | - 4 ձախ | start {array} {rr} 1 & 2 9 & -6 end {array} աջ | + 5 ձախ | start {array} {rr} 1 & 7 9 & 8 end {array} աջ | & = 3 (-58) - 4 (-24) + 5 (-55) & = -353 վերջ {հարթեցված} ] Նկատի ունեցեք, որ նշանները հերթափոխվում են շարքի երկայնքով (իսկապես երկայնքով ցանկացած տող կամ սյուն): Այժմ մենք հաշվարկում ենք ( func {det} A ) ՝ ընդարձակվելով առաջին սյունակի երկայնքով: [ սկիզբը {հարթեցված} ֆունկցիան {դետ} A & = 3c_ {11} (Ա) + 1 գ_ {21} (Ա) + 9 գ_ {31} (Ա) & = 3 ձախ | start {array} {rr} 7 & 2 8 & -6 end {array} աջ | - ձախ | start {array} {rr} 4 & 5 8 & -6 end {array} աջ | + 9 ձախ | start {array} {rr} 4 & 5 7 & 2 end {array} right | & = 3 (-58) - (-64) + 9 (-27) & = -353 վերջ {հարթեցված} ] Ընթերցողին առաջարկվում է ստուգել, ​​որ ( func {det} A ) կարող է հաշվարկվել `ընդարձակվելով ցանկացած այլ շարքի կամ սյունակի երկայնքով:

Այն փաստը, որ կոֆակտորի ընդլայնումը երկայնքով ցանկացած տող կամ սյունակ մատրիցայի (A ) - ն միշտ տալիս է նույն արդյունքը ( (A ) - ի որոշիչը), մեղմ ասած, ուշագրավ է: Հատուկ շարքի կամ սյունակի ընտրությունը կարող է պարզեցնել հաշվարկը:

007765 Հաշվարկել ( func {det} A ) որտեղ (A = leftB start {array} {rrrr} 3 & 0 & 0 & 0 5 & 1 & 2 & 0 2 & 6 & 0 & -1 - 6 & 3 & 1 & 0 end {array} rightB ):

Առաջին ընտրությունը, որը մենք պետք է կատարենք, այն է, թե որ շարքը կամ սյունն օգտագործենք կոֆակտորի ընդլայնման ժամանակ: Ընդլայնումը ենթադրում է մուտքերը բազմապատկելով համաֆակտորներով, ուստի աշխատանքը նվազագույնի է հասցվում, երբ շարքը կամ սյունը պարունակում է հնարավորինս շատ զրոյական մուտք: Տողը (1 ) լավագույն ընտրությունն է այս մատրիցում (սյունակը (4 ) նույնպես կաներ), իսկ ընդլայնումը ՝ [ start {հավասարեցված} ֆունկցիա {դետ} A & = 3c_ {11} ( Ա) + 0c_ {12} (A) + 0c_ {13} (A) + 0c_ {14} (A) & = 3 ձախ | start {array} {rrr} 1 & 2 & 0 6 & 0 & -1 3 & 1 & 0 end {array} աջ | end {հարթեցված} ] Սա առաջին փուլն է հաշվարկ, և մեզ հաջողվել է արտահայտել (4 անգամ 4 ) մատրիցայի որոշիչը (A ) (3 անգամ 3 ) մատրիցի որոշիչի տեսանկյունից: Հաջորդ փուլը ներառում է այս (3 անգամ 3 ) մատրիցը: Կրկին, մենք կարող ենք ցանկացած տող կամ սյուն օգտագործել կոֆակտորի ընդլայնման համար: Երրորդ սյունը նախընտրելի է (երկու զրոյով), այնպես որ [ start {հավասարեցված} ֆունկցիա {դետ} Ա & = 3 ձախ (0 ձախ | սկիզբ {զանգված} {rr} 6 & 0 3 & 1 end {array} right | - (-1) left | start {array} {rr} 1 & 2 3 & 1 end {array} right | + 0 left | start {array } {rr} 1 & 2 6 & 0 end {array} right | right) & = 3 [0 + 1 (-5) + 0] & = -15 end {հարթեցված} ] Սա լրացնում է հաշվարկը:

(A ) մատրիցայի որոշիչի հաշվարկը կարող է հոգնեցուցիչ լինել: Օրինակ, եթե (A ) - ը (4 անգամ 4 ) մատրիցա է, ցանկացած շարքի կամ սյունակի երկայնքով կոֆակտորի ընդլայնումը ենթադրում է չորս համաֆակտորների հաշվարկ, որոնցից յուրաքանչյուրը ներառում է ա – ի որոշիչը (3 անգամ 3 անգամ): մատրիցա Եվ եթե (A ) = (5 անգամ 5 ) է, ընդլայնումը ներառում է (4 անգամ 4 ) մատրիցների հինգ որոշիչ: Որոշակի տեխնիկայի անհրաժեշտություն կա աշխատանքը կրճատելու համար:2

Մեթոդի դրդապատճառը դիտումն է (տե՛ս օրինակ [exa: 007765]), որ որոշիչի հաշվարկը պարզեցված է շատ դեպքերում, երբ շարքը կամ սյունը հիմնականում բաղկացած է զրոյից: (Փաստորեն, երբ տող կամ սյուն է բաղկացած ամբողջությամբ զրոների դեպքում որոշիչը զրո է. պարզապես ընդարձակվել այդ շարքի կամ սյունակի երկայնքով):

Հետագայում հիշեք դրա մեկ մեթոդը ստեղծում մատրիցում զրոները դրանում կիրառել տարրական շարքի գործողություններ: Հետևաբար, բնական հարց տալն այն է, թե այսպիսի շարքի գործողությունն ինչ ազդեցություն է ունենում մատրիցայի որոշիչի վրա: Ստացվում է, որ ազդեցությունը որոշվում է հեշտությամբ, և դա տարրական է սյուն գործողությունները կարող են օգտագործվել նույն կերպ: Այս դիտարկումները հանգեցնում են որոշիչների որոշման տեխնիկայի, որը մեծապես նվազեցնում է ներգրավված աշխատանքը: Անհրաժեշտ տեղեկատվությունը տրված է Թեորեմում [thm: 007779]:

007779 Եկեք (A ) նշենք (n անգամ n ) մատրիցը:

  1. Եթե ​​Ա-ն ունի տրոհների տող կամ սյուն, ( func {det} A = 0 ):

  2. Եթե ​​ (A ) - ի երկու տարբեր տողեր (կամ սյուններ) փոխանակված են, ապա ստացված մատրիցայի որոշիչն է (- func {det} A ):

  3. Եթե ​​ (A ) - ի տողը (կամ սյունը) բազմապատկվում է հաստատունով (u ), ապա ստացված մատրիցայի որոշիչն է (u ( func {det} A) ):

  4. Եթե ​​ (A ) - ի երկու տարբեր տողերը (կամ սյունները) նույնական են, ( func {det} A = 0 ):

  5. Եթե ​​ (A ) մեկ տողի բազմապատիկը ավելացվում է տարբեր շարքում (կամ եթե սյունակի բազմապատիկ ավելացվում է մեկ այլ սյունակում), ապա ստացված մատրիցայի որոշիչն է ( func {det} A )

Մենք ապացուցում ենք 2, 4 և 5 հատկությունները, իսկ մնացածը թողնում ենք որպես վարժություններ:

Գույք 2, Եթե ​​ (A ) = (n անգամ n ) է, ապա դրան հաջորդում է ինդուկցիան (n ) վրա: Եթե ​​ (n = 2 ), ստուգումը մնում է ընթերցողին: Եթե ​​ (n> 2 ) և երկու տողերը փոխանակված են, թող (B ) նշենք ստացված մատրիցը: Ընդարձակեք ( func {det} A ) և ( func {det} B ) անընդմեջ Բացի դրանից երկուսը, որոնք փոխանակվել էին: Այս տողի գրառումները նույնն են և (A ) և (B ), բայց (B ) - ի համաֆակտորները (A ) - ի մեջ գտնվողների բացասականներն են (ինդուկցիայի միջոցով), քանի որ համապատասխան ((n - 1) անգամ (n - 1) ) մատրիցները երկու տող են փոխել: Հետևաբար, ( func {det} B = - func {det} A ), ըստ պահանջի: Նմանատիպ փաստարկը գործում է, եթե երկու սյունակ փոխվում են:

Գույք 4, Եթե ​​ (A ) - ի երկու տողերը հավասար են, ապա թող (B ) լինի դրանց փոխանակման արդյունքում ստացված մատրիցը: Հետո (B = A ), այնպես որ ( func {det} B = det A ): Բայց ( func {det} B = - func {det} A ) ըստ հատկության 2-ի, այնպես որ ( func {det} A = func {det} B = 0 ): Կրկին, նույն փաստարկը գործում է սյունների համար:

Գույք 5, Եկեք (B ) ստացվի (A = leftB a_ {ij} rightB ) –ից ՝ ավելացնելով (u ) անգամ շարքը (p ) տողին (q ): Դրանից հետո (B ) - ի (q ) տողն է [(a_ {q1} + ua_ {p1}, a_ {q2} + ua_ {p2}, կետեր, a_ {qn} + ua_ {pn}) ] Այս տարրերի համաֆակտորները (B ) - ում նույնն են, ինչ (A ) - ում (դրանք չեն ներառում տող (q )): խորհրդանիշներում, (c_ {qj} (B) = c_ {qj} (A) ) յուրաքանչյուրի համար (j ): Հետևաբար, (q ) տողի երկայնքով ընդլայնումը տալիս է [ {{{հավասարեցված} ֆունկցիա {դետ} B & = (a_ {q1} + ua_ {p1}) c_ {q1} (A) + (a_ {q2} + ua_ {p2}) c_ {q2} (A) + cdots + (a_ {qn} + ua_ {pn}) c_ {qn} (A) & = [a_ {q1} c_ {q1} (A) + a_ {q2} c_ {q2} (A) + cdots + a_ {qn} c_ {qn} (A)] + u [a_ {p1} c_ {q1} (A) + a_ {p2} c_ {q2} (A) + cdots + a_ {pn} c_ {qn} (A)] & = func {det} A + u func {det} C end {հարթեցված} ] որտեղ (C ) (A ) - ից ստացված մատրիցն է ՝ տող (q ) տողը փոխարինելով (p ) (և երկու ընդլայնումները շարքում են (q )): Քանի որ (p ) և (q ) տողերը (C ) հավասար են, ( func {det} C = 0 ) ըստ հատկության 4. Ըստ այդմ, ( func {det} B = գործառույթ {դետ} Ա ), ինչպես պահանջվում է: Ինչպես նախկինում, նմանատիպ ապացույց է սյունների համար:

Թեորեմը նկարագրելու համար [thm: 007779] հաշվի առեք հետևյալ որոշիչները.

lX [2] ( ձախ | սկիզբ {զանգված} {rrr} 3 & -1 & 2 2 & 5 & 1 0 & 0 & 0 վերջ {զանգված} աջ | = 0 ) & (քանի որ վերջին շարքը բաղկացած է զրոներից)

( ձախ | սկիզբը {զանգված} {rrr} 3 & -1 & 5 2 & 8 & 7 1 & 2 & -1 ավարտ {զանգված} աջ | = - ձախ | սկիզբ { array} {rrr} 5 & -1 & 3 7 & 8 & 2 - 1 & 2 & 1 end {array} right | ) & (քանի որ երկու սյունակ փոխված են)

( ձախ | start {array} {rrr} 8 & 1 & 2 3 & 0 & 9 1 & 2 & -1 end {array} աջ | = 3 ձախ | start {զանգված } {rrr} 8 & 1 & 2 1 & 0 & 3 1 & 2 & -1 end {array} աջ | ) & (քանի որ ձախ կողմում գտնվող մատրիցայի երկրորդ շարքը (3 ) ճիշտ է մատրիցայի երկրորդ շարքի վրա)

( ձախ | սկիզբը {array} {rrr} 2 & 1 & 2 4 & 0 & 4 1 & 3 & 1 end {զանգված} աջ | = 0 ) & (քանի որ երկու սյունակ նույնական)

( ձախ | start {array} {rrr} 2 & 5 & 2 - 1 & 2 & 9 3 & 1 & 1 end {array} աջ | = ձախ | start {array} {rrr} 0 & 9 & 20 - 1 & 2 & 9 3 & 1 & 1 end {array} աջ | ) & (քանի որ երկու անգամ ձախ կողմում գտնվող մատրիցայի երկրորդ շարքը ավելացվել է առաջին շարքը)

Հետևյալ չորս օրինակները ցույց են տալիս, թե ինչպես է որոշվում որոշիչները որոշելու համար [թեհ. 007779] թեորեմը:

007817 Գնահատեք ( func {det} A ) երբ (A = leftB start {array} {rrr} 1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6 վերջ {զանգված} rightB ):

Մատրիցան ունի զրոյական մուտք, այնպես որ երկրորդ շարքի երկայնքով ընդլայնումը (ասենք) մի փոքր ավելի քիչ աշխատանք կներառի: Այնուամենայնիվ, սյունակի գործողությունը կարող է օգտագործվել դիրքում զրո ստանալու համար ((2, 3 )), այսինքն ՝ սյունակ 3-ին ավելացնել 1-ին սյունակը, քանի որ դա չի փոխում որոշիչի արժեքը, մենք ստանում ենք [ fun {det} A = ձախ | start {array} {rrr} 1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6 end {array} աջ | = ձախ | start {array} {rrr} 1 & -1 & 4 1 & 0 & 0 2 & 1 & 8 end {array} աջ | = - ձախ | start {array} {rr} -1 & 4 1 & 8 end {array} right | = 12 ] որտեղ մենք ընդլայնեցինք երկրորդ (3 անգամ 3 ) մատրիցան 2-րդ շարքի երկայնքով:

007825 Եթե ( func {det} leftB start {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = 6 ), գնահատել ( func {det} A ) որտեղ (A = leftB start {array} {ccc} a + x & b + y & c + z 3x & 3y & 3z - p & - q & -r end {array} rightB ):

Սկզբից հանեք ընդհանուր գործոնները 2-րդ և 3-րդ տողերից: [ func {det} A = 3 (-1) func {det} leftB start {array} {ccc} a + x & b + y & c + z x & y & z p & q & r end {array} rightB ] Հիմա առաջինից հանեք երկրորդ շարքը և փոխեք վերջին երկու շարքերը: [ func {det} A = -3 func {det} leftB start {array} {ccc} a & b & c x & y & z p & q & r end {array} rightB = 3 func {det} leftB start {array} {ccc} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = 3 cdot 6 = 18 ]

Մատրիցայի որոշիչը դրա գրառումների արտադրանքի հանրագումարն է: Մասնավորապես, եթե այս գրառումները (x ) - ի բազմանդամներ են, ապա որոշիչն ինքնին (x ) - ի բազմանդամ է: Հաճախ հետաքրքրություն է առաջացնում որոշել, թե (x ) - ի որ արժեքներն են որոշիչը զրո դարձնում, ուստի շատ օգտակար է, եթե որոշիչը տրված է փաստարկված տեսքով: Թեորեմը [thm: 007779] կարող է օգնել:

007837 Գտեք (x ) - ի արժեքները, որոնց համար ( func {det} A = 0 ), որտեղ (A = leftB start {array} {ccc} 1 & x & x x & 1 & x x & x & 1 end {զանգված} rightB ):

( Func {det} A ) գնահատելու համար առաջին տողը 1-ին տողը հանել 2-րդ և 3-րդ տողերից: [ func {det} A = ձախ | start {array} {ccc} 1 & x & x x & 1 & x x & x & 1 end {array} աջ | = ձախ | start {array} {ccc} 1 & x & x 0 & 1-x ^ 2 & xx ^ 2 0 & xx ^ 2 & 1-x ^ 2 end {array} աջ | = ձախ | start {array} {cc} 1-x ^ 2 & xx ^ 2 xx ^ 2 & 1-x ^ 2 end {array} right | ] Այս փուլում մենք կարող ենք պարզապես գնահատել որոշիչը (արդյունքը է (2x ^ 3-3x ^ 2 + 1 )): Բայց այդ դեպքում մենք ստիպված կլինենք գործակցել այս բազմանդամը ՝ գտնելու համար այն ((x)) արժեքները, որոնք զրոյացնում են այն: Այնուամենայնիվ, այս գործոնացումը կարող է ստացվել ուղղակիորեն նախ որոշելով գործոնի յուրաքանչյուր մուտքը և յուրաքանչյուր տողից վերցնելով ((1-x) ) ընդհանուր գործոն: [ սկիզբը {հավասարեցված} գործառույթ {դետ} Ա = ձախ | start {array} {cc} (1-x) (1 + x) & x (1-x) x (1-x) & (1-x) (1 + x) end {array} ճիշտ | & = (1-x) ^ 2 ձախ | start {array} {cc} 1 + x & x x & 1 + x end {array} աջ | & = (1-x) ^ 2 (2x + 1) վերջ {հարթեցված} ] Հետևաբար, ( func {det} A = 0 ) նշանակում է ((1 - x) ^ 2 (2x + 1) = 0 ), այսինքն ՝ (x = 1 ) կամ (x = - frac {1} {2} ):

007851 Եթե տրված են (a_1 ), (a_2 ) և (a_3 ) ցույց են տալիս, որ [ func {det} leftB start {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {array} rightB = (a_3-a_1) (a_3-a_2) (a_2-a_1) ]

Սկսեք 2-րդ և 3-րդ շարքերից հանելով 1-ին շարքը, ապա ընդարձակեք 1-ին սյունակի երկայնքով. [ Func {det} leftB start {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {array} rightB = func {det} leftB start {array} {ccc} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 0 & a_2-a_1 & a_2 ^ 2-a_1 ^ 2 0 & a_3-a_1 & a_3 ^ 2-a_1 ^ 2 end {array} rightB = func {det} leftB start {array} {cc} a_2-a_1 & a_2 ^ 2 -a_1 ^ 2 a_3-a_1 & a_3 ^ 2-a_1 ^ 2 end {array} rightB ] Այժմ ((a_2 - a_1) ) և ((a_3 - a_1) ) ընդհանուր գործոններ են Համապատասխանաբար 1-ին և 2-րդ շարքերը, այնպես որ [ սկսեք {հարթեցված} ֆունկցիա {դետ} ձախ Բ սկիզբը {զանգված} {դդմ} 1 & a_1 & a_1 ^ 2 1 & a_2 & a_2 ^ 2 1 & a_3 & a_3 ^ 2 end {array} rightB & = (a_2-a_1) (a_3-a_1) func {det} leftB start {array} {cc} 1 & a_2 + a_1 1 & a_3 + a_1 end {array} rightB & = (a_2-a_1) (a_3-a_1) (a_3-a_2) end {հարթեցված} ]

[Exa: 007851] օրինակում մատրիցը կոչվում է Vandermonde մատրիցա, և դրա որոշիչի բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել (n անգամ n ) դեպքում (տե՛ս թեորեմ [thm: 008552]):

Եթե ​​ (A ) (n անգամ n ) մատրիցա է, կազմելը (uA ) նշանակում է բազմապատկել ամեն (A ) տողի կողմից (u ): Կիրառելով թեորեմի 3-րդ հատկությունը [thm: 007779], մենք կարող ենք յուրաքանչյուր տողից հանել ընդհանուր գործոնը (u ) և այդպիսով ստանալ հետևյալ օգտակար արդյունքը:

007870 Եթե A- ն (n անգամ n ) մատրիցա է, ապա ( func {det} (uA) = u ^ n func {det} A ) ցանկացած համարի համար (u ):

Հաջորդ օրինակը ցույց է տալիս մատրիցայի մի տեսակ, որի որոշիչը հեշտ է հաշվարկել:

007875 Գնահատեք ( func {det} A ) եթե (A = leftB start {array} {rrrr} a & 0 & 0 & 0 u & b & 0 & 0 v & w & c & 0 x & y & z & d end {array} rightB ):

Ընդարձակեք 1-ին շարքում ` ( func {det} A = a ձախ | {{array} {rrr} b & 0 & 0 w & c & 0 y & z & d end {array) ստացման համար } աջ | ): Այժմ ընդարձակեք սա վերին շարքի երկայնքով ՝ ( func {det} A = ab ձախ | սկիզբը {array} {cc} c & 0 z & d end {array} աջ | = abcd ) ստանալու համար , հիմնական անկյունագծային գրառումների արտադրանքը:

Քառակուսի մատրիցը կոչվում է ա ստորին եռանկյուն մատրիցա եթե հիմնական անկյունագծից վեր բոլոր գրառումները զրո են (ինչպես օրինակ [exa: 007875]): Նմանապես, ան վերին եռանկյուն մատրիցա մեկն է, որի համար հիմնական անկյունագծից ներքև բոլոր գրառումները զրո են: Ա եռանկյուն մատրիցա մեկն է, որը կա՛մ վերին, կա՛մ ստորին եռանկյուն է: [Thm: 007885] թեորեմը տալիս է հեշտ կանոն ՝ ցանկացած եռանկյուն մատրիցայի որոշիչը հաշվարկելու համար: Ապացույցը նման է [exa: 007875] օրինակի լուծմանը:

007885 Եթե A- ն քառակուսի եռանկյուն մատրիցա է, ապա det A- ն հիմնական անկյունագծի գրառումների արդյունք է:

[Thm: 007885] թեորեմը օգտակար է համակարգչային հաշվարկների մեջ, քանի որ շարային գործողությունների միջոցով մատրիցան եռանկյունաձև ձևով տեղափոխելը սովորական խնդիր է:

Հաջորդ թեորեմի նման բլոկային մատրիցները հաճախ առաջանում են գործնականում, և թեորեմը տալիս է դրանց որոշիչների հաշվարկման հեշտ մեթոդ: Սա աղավնվում է օրինակով [exa: 004627]:

007890 Հաշվի առեք ( leftB start {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB ) մատրիցները և ( leftB start {array} {cc} A & 0 Y & B end {array} rightB ) բլոկի տեսքով, որտեղ (A ) և (B ) քառակուսի մատրիցներ են: Ապա [ func {det} leftB start {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB = func {det} A func {det} B mbox {և } func {det} leftB start {array} {cc} A & 0 Y & B end {array} rightB = func {det} A func {det} B ]

Գրեք (T = func {det} leftB start {array} {cc} A & X 0 & B end {array} rightB ) և շարունակեք ինդուկցիայի միջոցով (k ) որտեղ ( A ) է (k անգամ k ): Եթե ​​ (k = 1 ), դա կոֆակտորի ընդլայնումն է 1. սյունակի երկայնքով: Ընդհանուր առմամբ, թող ((S_i (T) )) նշվի (T ) - ից ստացված մատրիցը ՝ ջնջելով տողը (i ) և 1 սյունակը: Այնուհետև ( func {det} T ) կոֆակտորի ընդլայնումը առաջին սյունակի երկայնքով [ label {eq: cofexpdeterminant} func {det} T = a_ {11} func {det} (S_1 (T )) - a_ {21} func {det} (S_2 (T)) + cdots pm a_ {k1} func {det} (S_k (T)) ] որտեղ (a_ {11}, a_ { 21}, cdots, a_ {k1} ) (A ) - ի առաջին սյունակի գրառումներն են: Բայց (S_i (T) = leftB start {array} {cc} S_i (A) & X_i 0 & B end {array} rightB ) յուրաքանչյուրի համար (i = 1, 2, cdots , k ), այնպես որ ( func {det} (S_i (T)) = func {det} (S_i (A)) cdot func {det} B ) ինդուկցիայի միջոցով: Հետևաբար [eq: cofexpdeterminant] հավասարումը դառնում է [ {{{սկսում} հարթեցված} գործառույթ {դետ} Թ & = ձախ {ա_ {11} ֆունկցիա {դետ} (S_1 (Տ)) - ա_ {21} ֆունկցիա {det} (S_2 (T)) + cdots pm a_ {k1} func {det} (S_k (T)) աջ } func {det} B & = ձախ { func { det} A right } func {det} B end {հարթեցված} ] ըստ պահանջի Ստորին եռանկյուն դեպքը նման է:

007910 [ func {det} leftB start {array} {rrrr} 2 & 3 & 1 & 3 1 & -2 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 4 & 0 & 1 end {array} rightB = - ձախ | start {array} {rrrr} 2 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 4 & 1 end {array} աջ | = - ձախ | start {array} {rr} 2 & 1 1 & -1 end {array} աջ | ձախ | start {array} {rr} 1 & 1 4 & 1 end {array} աջ | = - (-3) (- 3) = -9 ]

Հաջորդ արդյունքը ցույց է տալիս, որ ( func {det} A ) գծային վերափոխում է, երբ այն դիտվում է որպես (A ) ֆիքսված սյունակի ֆունկցիա: Ապացույցը վարժությունն է [օրինակ ՝ 3_1_21]:

007914 Հաշվի առնելով սյունակները ( vect {c} _ {1}, cdots, vect {c} _ {j-1}, vect {c} _ {j + 1}, cdots, vect {c} _ {n} ) ( RR ^ n ) - ում, սահմանեք (T: RR ^ n դեպի RR ) ՝ [T ( vect {x}) = func {det} leftB start {array} {ccccccc} vect {c} _1 & cdots & vect {c} _ {j-1} & vect {x} & vect {c} _ {j + 1} & cdots & vect {c} _n end {array} rightB mbox {for all} vect {x} mbox {in} RR ^ n ] Հետո բոլորի համար ( vect {x} ) և ( vect {y} ) in ( RR ^ n ) և բոլորը (a ) in ( RR ), [T ( vect {x} + vect {y}) = T ( vect {x}) + T ( vect {y}) quad mbox {and} quad T (a vect {x}) = aT ( vect {x}) ]

1-ի համար վարժություններ

լուծումներ

2

Հաշվիր հետևյալ մատրիցների որոշիչները:

( leftB start {array} {rr} 2 & -1 3 & 2 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rr} 6 & 9 8 & 12 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rr} a ^ 2 & ab ab & b ^ 2 end {array} rightB ) ( leftB start {array } {cc} a + 1 & a a & a-1 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rr} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrr} 2 & 0 & -3 1 & 2 & 5 0 & 3 & 0 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrr} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrr} 0 & a & 0 b & c & d 0 & e & 0 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrr} 1 & b & c b & c & 1 c & 1 & b end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrr} 0 & a & b a & 0 & c b & c & 0 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} 0 & 1 & -1 & 0 3 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 1 5 & 0 & 0 & 7 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} 1 & 0 & 3 & 1 2 & 2 & 6 & 0 - 1 & 0 & -3 & 1 4 & 1 & 12 & 0 end {array} rightB ) ( le ftB start {array} {rrrr} 3 & 1 & -5 & 2 1 & 3 & 0 & 1 1 & 0 & 5 & 2 1 & 1 & 2 & -1 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} 4 & -1 & 3 & -1 3 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & - 1 & 1 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} 1 & -1 & 5 & 5 3 & 1 & 2 & 4 - 1 & -3 & 8 & 0 1 & 1 & 2 & -1 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} 0 & 0 & 0 & a 0 & 0 & b & p 0 & c & q & k d & s & t & u end {array} rightB )

  1. (0)

  2. (-1)

  3. (-39)

  4. (0)

  5. (2abc )

  6. (0)

  7. (-56)

  8. (Ա Բ Գ Դ)

Ույց տվեք, որ ( func {det} A = 0 ) եթե (A ) ունի տող կամ սյուն, որը բաղկացած է զրոներից:

Showույց տվեք, որ դիրքի նշանը վերջին շարքում և (A ) - ի վերջին սյունակում միշտ (+ 1 ) է:

Showույց տվեք, որ ( func {det} I = 1 ) ինքնության ցանկացած մատրիցայի համար (I ):

Գնահատեք յուրաքանչյուր մատրիցայի որոշիչը `այն իջեցնելով վերին եռանկյունաձև տեսքին:

( leftB start {array} {rrr} 1 & -1 & 2 3 & 1 & 1 2 & -1 & 3 end {array} rightB ) ( leftB start {array } {rrr} -1 & 3 & 1 2 & 5 & 3 1 & -2 & 1 end {array} rightB ) ( leftB start {array} {rrrr} -1 & - 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 2 1 & 3 & -1 & 2 end {array} rightB ) ( leftB start {array } {rrrr} 2 & 3 & 1 & 1 0 & 2 & -1 & 3 0 & 5 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 5 end {array} rightB )

  1. (-17)

  2. (106)

Գնահատեք ըստ հերթական ստուգման.

  1. ( func {det} leftB start {array} {ccc} a & b & c a + 1 & b + 1 & c + 1 a-1 & b-1 & c-1 ավարտ {զանգված} աջԲ )

  2. ( func {det} leftB start {array} {ccc} a & b & c a + b & 2b & c + b 2 & 2 & 2 end {array} rightB )

  1. (0)

Եթե ​​ ( func {det} leftB start {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end {array} rightB = -1 ) հաշվարկել :

  1. ( func {det} leftB start {array} {ccc} -x & -y & -z 3p + a & 3q + b & 3r + c 2p & 2q & 2r end {array} աջԲ )

  2. ( func {det} leftB start {array} {ccc} -2a & -2b & -2c 2p + x & 2q + y & 2r + z 3x & 3y & 3z end {array} աջԲ )

  1. (12)

Ույց տվեք, որ.

  1. ( func {det} leftB start {array} {rrr} p + x & q + y & r + z a + x & b + y & c + z a + p & b + q & c + r end {array} rightB = 2 func {det} leftB start {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end { զանգված} աջԲ )

  2. ( func {det} leftB start {array} {rrr} 2a + p & 2b + q & 2c + r 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {array} rightB = 9 func {det} leftB start {array} {rrr} a & b & c p & q & r x & y & z end { զանգված} աջԲ )

  1. ( func {det} leftB start {array} {rrr} 2a + p & 2b + q & 2c + r 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {array} rightB )
    (= 3 func {det} leftB start {array} {rrr} a + p + x & b + q + y & c + r + z 2p + x & 2q + y & 2r + z 2x + a & 2y + b & 2z + c end {array} rightB )
    (= 3 func {det} leftB start {array} {rrr} a + p + x & b + q + y & c + r + z pa & qb & rc xp & yq & zr end {array} rightB )
    (= 3 func {det} leftB start {array} {rrr} 3x & 3y & 3z p-a & q-b & r-c x-p & y-q & z-r end {array} rightB cdots )

Յուրաքանչյուր դեպքում կա՛մ ապացուցեք պնդումը, կա՛մ բերեք օրինակ, որը ցույց է տալիս, որ դա կեղծ է.

  1. ( func {det} (A + B) = func {det} A + func {det} B. )

  2. Եթե ​​ ( func {det} A = 0 ), ապա (A ) ունի երկու հավասար տող:

  3. Եթե ​​ (A ) = (2 անգամ 2 ) է, ապա ( func {det} (A ^ T) = func {det} A ):

  4. Եթե ​​ (R ) (A ) իջեցված տող-էշելոնային ձևն է, ապա ( func {det} A = func {det} R ):

  5. Եթե ​​ (A ) - ն է (2 անգամ 2 ), ապա ( func {det} (7A) = 49 func {det} A ):

  6. ( func {det} (A ^ T) = - func {det} A ):

  7. ( func {det} (- A) = - func {det} A ):

  8. Եթե ​​ ( func {det} A = func {det} B ) որտեղ (A ) և (B ) նույն չափը ունեն, ապա (A ) = (B ):

  1. Կեղծ (A = leftB start {array} {rr} 1 & 1 2 & 2 end {array} rightB )

  2. Կեղծ (A = leftB start {array} {rr} 2 & 0 0 & 1 end {array} rightB rightarrowR = leftB start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} rightB )

  3. Կեղծ (A = leftB start {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB )

  4. Կեղծ (A = leftB start {array} {rr} 1 & 1 0 & 1 end {array} rightB ) և (B = leftB start {array} {rr} 1 & 0 1 & 1 end {array} rightB )

Հաշվարկել յուրաքանչյուր մատրիցայի որոշիչը ՝ օգտագործելով թեորեմ [thm: 007890]:

  1. ( leftB start {array} {rrrrr} 1 & -1 & 2 & 0 & -2 0 & 1 & 0 & 4 & 1 1 & 1 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 end {array} rightB )

  2. ( leftB start {array} {rrrrr} 1 & 2 & 0 & 3 & 0 - 1 & 3 & 1 & 4 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 0 & 3 & 0 & 1 end {array} rightB )

  1. (35)

Եթե ​​ ( func {det} A = 2, func {det} B = -1 ) և ( func {det} C = 3 ), և գտնեք ՝

( func {det} leftB start {array} {ccc} A & X & Y 0 & B & Z 0 & 0 & C end {array} rightB ) ( func { det} leftB start {array} {ccc} A & 0 & 0 X & B & 0 Y & Z & C end {array} rightB ) ( func {det} leftB start {array} {ccc} A & X & Y 0 & B & 0 0 & Z & C end {array} rightB ) ( func {det} leftB start {array} { ccc} A & X & 0 0 & B & 0 Y & Z & C end {array} rightB )

  1. (-6)

  2. (-6)

Եթե ​​ (A ) ունի երեք սյունակ, որոնցում միայն վերին երկու գրառումները ոչ զրո են, ցույց տվեք, որ ( func {det} A = 0 ):

  1. Գտեք ( func {det} A ), եթե (A ) = (3 անգամ 3 ) և ( func {det} (2A) = 6 ):

  2. Ի՞նչ պայմաններում է ( func {det} (- A) = func {det} A ):

Գնահատեք ՝ առաջին հերթին ավելացնելով մնացած բոլոր շարքերը առաջին շարքում:

  1. ( func {det} leftB start {array} {ccc} x-1 & 2 & 3 2 & -3 & x-2 - 2 & x & -2 end {array} rightB )

  2. ( func {det} leftB start {array} {ccc} x-1 & -3 & 1 2 & -1 & x-1 - 3 & x + 2 & -2 end {array } աջԲ )

  1. (- (x-2) (x ^ 2 + 2x-12) )

  1. Գտեք (b ) եթե ( func {det} leftB start {array} {rrr} 5 & -1 & x 2 & 6 & y - 5 & 4 & z end {array} rightB = ax + by + cz ):

  2. Գտեք (c ) եթե ( func {det} leftB start {array} {rrr} 2 & x & -1 1 & y & 3 - 3 & z & 4 end {array} rightB = ax + by + cz ):

  1. (-7)

Գտեք իրական թվերը (x ) և (y ) այնպես, որ ( func {det} A = 0 ) եթե ՝

(A = leftB start {array} {rrr} 0 & x & y y & 0 & x x & y & 0 end {array} rightB ) (A = leftB start {array} {rrr} 1 & x & x - x & -2 & x - x & -x & -3 end {array} rightB ) (A = leftB start {array} {rrrr} 1 & x & x ^ 2 & x ^ 3 x & x ^ 2 & x ^ 3 & 1 x ^ 2 & x ^ 3 & 1 & x x ^ 3 & 1 & x & x ^ 2 end {array} rightB ) (A = leftB start {array} {rrrr} x & y & 0 & 0 0 & x & y & 0 0 & 0 & x & y y & 0 & 0 & x end {array} rightB )

  1. ( երեկոյան frac { sqrt {6}} {2} )

  2. (x = երեկոյան )

Showույց տվեք դա
( func {det} leftB start {array} {rrrr} 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & x & x 1 & x & 0 & x 1 & x & x & 0 վերջ {զանգված} rightB = -3x ^ 2 )

Showույց տվեք դա
( func {det} leftB start {array} {rrrr} 1 & x & x ^ 2 & x ^ 3 a & 1 & x & x ^ 2 p & b & 1 & x q & r & c & 1 end {array} rightB = (1-ax) (1-bx) (1-cx): )

[օրինակ ՝ 3.1.19] Հաշվի առնելով բազմանդամը (p (x) = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + x ^ 4 ), մատրիցան (C = ձախ B սկիզբը {զանգված} {rrrr } 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - a & -b & -c & -d end {array} rightB ) կոչվում է որ ուղեկից մատրիցա (p (x) ) - ի: Ույց տվեք, որ ( func {det} (xI - C) = p (x) ):

Showույց տվեք դա
( func {det} leftB start {array} {rrr} a + x & b + x & c + x b + x & c + x & a + x c + x & a + x & b + x end {array} rightB = (a + b + c + 3x) [(ab + ac + bc) - (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)] ]

[օրինակ ՝ 3_1_21]: Ապացուցել թեորեմը [thm: 007914]: [ԱկնարկԸնդլայնել որոշիչը սյունակի երկայնքով ժ.]

Եկեք ( vect {x} = leftB start {array} {c} x_1 x_2 vdots x_n end {array} rightB ), ( vect {y} = leftB start {array} {c} y_1 y_2 vdots y_n end {array} rightB ) և (A = leftB start {array} {ccccc} vect {c} _1 & cdots & vect {x} + vect {y} & cdots & vect {c} _n end {array} rightB ) որտեղ ( vect {x} + vect {y} ) սյունակում (j ): Ընդլայնվում է ( func {det} A ) սյունակի երկայնքով (j ) ( ( vect {x} + vect {y} ) պարունակող մեկը)

[egin{aligned}T(vect{x} + vect{y}) = func{det } A &= sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i)c_{ij}(A) &= sum_{i=1}^{n} x_ic_{ij}(A) + sum_{i=1}^{n} y_ic_{ij}(A)&= T(vect{x}) + T(vect{y})end{aligned}]

Similarly for (T(avect{x}) = aT(vect{x})).

Show that [func{det} leftB egin{array}{ccccc}0 & 0 & cdots & 0 & a_1 & 0 & cdots & a_2 & * vdots & vdots & & vdots & vdots & a_{n-1} & cdots & * & * a_n & * & cdots & * & *end{array} ightB=(-1)^k a_1a_2 cdots a_n] where either (n = 2k) or (n = 2k + 1), and (*)-entries are arbitrary.

By expanding along the first column, show that: [func{det} leftB egin{array}{ccccccc}1 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{array} ightB= 1 + (-1)^{n+1}]

if the matrix is (n imes n, n geq 2).

Form matrix (B) from a matrix (A) by writing the columns of (A) in reverse order. Express (func{det } B) in terms of (func{det } A).

If (A) is (n imes n), then (func{det } B = (-1)^k func{det } A) where (n = 2k) or (n = 2k + 1).

Prove property 3 of Theorem [thm:007779] by expanding along the row (or column) in question.

Show that the line through two distinct points ((x_{1}, y_{1})) and ((x_{2}, y_{2})) in the plane has equation [func{det}leftB egin{array}{ccc}x & y & 1 x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1end{array} ightB = 0]

Եկեք (A ) լինի (n անգամ n ) մատրիցա: Given a polynomial (p(x) = a_0 + a_1x + cdots + a_mx^m), we write
(p(A) = a_{0}I + a_1A + cdots + a_mA^m).

For example, if (p(x) = 2-3x+5x^2), then
(p(A) = 2I -3A +5A^2). Ի բնորոշ բազմանդամ of (A) is defined to be (c_A(x) = func{det} [xI - A]), and the Cayley-Hamilton theorem asserts that (c_A(A) = 0) for any matrix (A).

  1. 2
    1. (A = leftB egin{array}{rr}3 & 2 1 & -1end{array} ightB)

    2. (A = leftB egin{array}{rrr}1 & -1 & 1 & 1 & 0 8 & 2 & 2end{array} ightB)

  2. Prove the theorem for (A = leftB egin{array}{rr}a & b c & dend{array} ightB)


  1. Determinants are commonly written (|A| = func{det } A) using vertical bars. We will use both notations.↩

  2. If (A = leftB egin{array}{rrr}a & b & c d & e & f g & h & iend{array} ightB) we can calculate (func{det } A) by considering (leftB egin{array}{rrrrr}a & b & c & a & bd & e & f & d & e g & h & i & g & hend{array} ightB) obtained from (A) by adjoining columns (1) and (2) on the right. Then (func{det } A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi), where the positive terms (aei, bfg,) and (cdh) are the products down and to the right starting at (a,b), and (c), and the negative terms (ceg, afh), and (bdi) are the products down and to the left starting at (c, a), and (b). Warning: This rule does ոչ apply to (n imes n) matrices where (n > 3) or (n = 2).↩