Հոդվածներ

2.7. Բազմապատկիր և բաժանիր ամբողջ թվեր (Մաս 1) - Մաթեմատիկա


Skարգանալու հմտություններ

  • Բազմապատկել ամբողջ թվերը
  • Բաժանիր ամբողջ թվեր
  • Պարզեցրեք արտահայտություններն ամբողջ թվերով
  • Գնահատեք փոփոխական արտահայտությունները ամբողջ թվերով
  • Բառային արտահայտությունները թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտությունների

պատրաստված լինել!

Նախքան սկսելը, վերցրու այս պատրաստության վիկտորինան:

  1. (20 ) և (13 ) - ի գործակիցը թարգմանել հանրահաշվական արտահայտության: Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք օրինակ 1.5.12-ը:
  2. Ավելացնել ՝ (- 5 + (−5) + (−5) ): Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք 3.2.8 օրինակը:
  3. Գնահատեք (n + 4 ), երբ (n = −7 ): Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք 3.2.10 օրինակը:

Բազմապատկել ամբողջ թվերը

Քանի որ բազմապատկումը մաթեմատիկական սղագրություն է կրկնվող գումարման համար, մեր հաշվիչի մոդելը հեշտությամբ կարող է կիրառվել ամբողջ թվերի բազմապատկումը ցույց տալու համար: Եկեք նայենք այս կոնկրետ մոդելին ՝ տեսնելու, թե ինչ նմուշներ ենք նկատում: Մենք կօգտագործենք նույն օրինակները, որոնք օգտագործել ենք գումարման և հանումների համար:

Մենք հիշում ենք, որ (a • b ) նշանակում է ավելացնել (a ), (b ) անգամ: Այստեղ մենք օգտագործում ենք Նկարում պատկերված մոդելը ( PageIndex {1} ), պարզապես օգնելու համար մեզ հայտնաբերել օրինակը:

Նկար ( PageIndex {1} )

Այժմ դիտարկեք, թե ինչ է նշանակում (5 ) բազմապատկել (- 3 ) -ով: Դա նշանակում է հանել (5 ), (3 ) անգամ: Հանումն իբրեւ խլում նայելը նշանակում է խլել (5 ), (3 ) անգամ: Բայց խլելու բան չկա, ուստի մենք սկսում ենք չեզոք զույգեր ավելացնելով, ինչպես ցույց է տրված Նկար ( PageIndex {2} ) նկարում:

Նկար ( PageIndex {2} )

Երկու դեպքում էլ մենք սկսեցինք (15 ) չեզոք զույգերից: Ձախ կողմում մենք վերցրեցինք (5 ), (3 ) անգամ և արդյունքը եղավ (- 15 ): ((- 5) (- 3) ) բազմապատկելու համար մենք վերցրեցինք (- 5 ), (3 ) անգամ և արդյունքը եղավ (15 ): Այսպիսով, մենք գտանք դա

5(3) = 15-5(3) = -15
5(-3) = -15(-5)(-3) = 15

Ուշադրություն դարձրեք, որ երկու ստորագրված թվերի բազմապատկման համար, երբ նշանները նույնն են, ապրանքը դրական է, և երբ նշանները տարբեր են, ապրանքը բացասական է:

Սահմանում. Ստորագրված թվերի բազմապատկում

Երկու թվերի արտադրյալի նշանը կախված է դրանց նշաններից:

Նույն նշաններըԱպրանք
Երկու դրականԴրական
Երկու բացասականԴրական
Տարբեր նշաններԱպրանք
Դրական • բացասականԲացասական
Բացասական • դրականԲացասական

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ բազմապատկել

Բազմապատկել հետևյալներից յուրաքանչյուրը.

  1. (−9 • 3)
  2. (−2(−5))
  3. (4(−8))
  4. (7 • 6)

Լուծում

    Բազմապատկել ՝ նշելով, որ նշանները տարբեր են, ուստի արտադրանքը բացասական է:–9 • 3 = –27
      Բազմապատկել ՝ նշելով, որ նշանները նույնն են, ուստի արտադրանքը դրական է:–2(–5) = 10
        Բազմապատկել ՝ նշելով, որ նշանները տարբեր են, ուստի արտադրանքը բացասական է:4(–8) = –32
          Նշանները նույնն են, ուստի ապրանքը դրական է:7 • 6 = 42

          Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

          Բազմապատկել.

          1. (−6 • 8)
          2. (−4(−7))
          3. (9(−7))
          4. (5 • 12)
          Պատասխանել ա

          (-48)

          Պատասխան բ

          (28)

          Պատասխան գ

          (-63)

          Պատասխան դ

          (60)

          Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} )

          Բազմապատկել.

          1. (−8 • 7)
          2. (−6(−9))
          3. (7(−4))
          4. (3 • 13)
          Պատասխանել ա

          (-56)

          Պատասխան բ

          (54)

          Պատասխան գ

          (-28)

          Պատասխան դ

          (39)

          Երբ թիվը բազմացնում ենք (1 ) -ով, արդյունքը նույն թիվն է: Ի՞նչ է պատահում, երբ թիվը բազմացնում ենք (- 1 ) -ով: Եկեք բազմապատկենք դրական թիվը, ապա բացասական թիվը (- 1 ) -ով `տեսնելու, թե ինչ ենք ստանում:

          −1 • 4−1(−3)
          −43
          −4-ը 4-ի հակառակն է3-ը the3-ի հակառակն է

          Ամեն անգամ, երբ մի թիվ բազմապատկենք (- 1 ) -ով, մենք կստանանք դրա հակառակը:

          Սահմանում. Բազմապատկում (- 1 ) -ով

          Թիվը (- 1 ) -ով բազմապատկելը տալիս է դրա հակառակը:

          [- 1 cdot a = -a ]

          Օրինակ ( PageIndex {2} ) ՝ բազմապատկել

          Բազմապատկել հետևյալներից յուրաքանչյուրը.

          1. (−1 • 7)
          2. (−1(−11))

          Լուծում

            Նշանները տարբեր են, ուստի ապրանքը բացասական կլինի:−1 • 7
            Նկատեք, որ −7-ը 7-ի հակառակն է:−7
              Նշանները նույնն են, ուստի ապրանքը դրական կլինի:−1(−11)
              Նկատեք, որ 11-ը the11-ի հակառակն է:11

              Ercորավարժություններ ( PageIndex {3} )

              Բազմապատկել

              1. (−1 • 9)
              2. (−1 • (−17))
              Պատասխանել ա

              (-9)

              Պատասխան բ

              (17)

              Exորավարժություններ ( PageIndex {4} )

              Բազմապատկել

              1. (−1 • 8)
              2. (−1 • (−16))
              Պատասխանել ա

              (-8)

              Պատասխան բ

              (16)

              Բաժանիր ամբողջ թվերը

              Բաժանումը բազմապատկման հակադարձ գործողությունն է: Այսպիսով, (15 ÷ 3 = 5 ), որովհետև քանի որ հինգ երեք անգամ ավելացնելը տալիս է (15 ): Եթե ​​նայենք ամբողջ թվերի բազմացման մի քանի օրինակների, կարող ենք պարզել ամբողջ թվերի բաժանման կանոնները:

              5 • 3 = 15 ուստի 15 3 = 5−5 (3) = −15 ուստի −15 ÷ 3 = 5
              (−5) (- 3) = 15 ուրեմն 15 ÷ (−3) = −55 (−3) = −15 ուստի −15 −3 = 5

              Ստորագրված թվերի բաժանումը հետևում է նույն կանոններին, ինչ բազմապատկումը: Երբ նշանները նույնն են, գործակիցը դրական է, իսկ երբ նշանները տարբեր են, գործակիցը բացասական է:

              Սահմանում. Ստորագրված թվերի բաժանում

              Երկու թվերի քանորդի նշանը կախված է դրանց նշաններից:

              Նույն նշաններըՔանակական
              Երկու դրականԴրական
              Երկու բացասականԴրական
              Տարբեր նշաններՔանակական
              Դրական և բացասականԲացասական
              Բացասական և դրականԲացասական

              Հիշեք, որ դուք միշտ կարող եք ստուգել բաժանման խնդրի պատասխանը ՝ բազմապատկելով:

              Օրինակ ( PageIndex {3} ) ՝ բաժանել

              Բաժանեք հետևյալներից յուրաքանչյուրը.

              1. (−27 ÷ 3)
              2. (−100 ÷ (−4))

              Լուծում

                Բաժանիր ՝ նշելով, որ նշանները տարբեր են, ուստի քանակը բացասական է:–27 ÷ 3 = –9
                  Բաժանեք ՝ նշելով, որ նշանները նույնն են, ուստի գործակիցը դրական է:–100 ÷ (–4) = 25

                  Ercորավարժություններ ( PageIndex {5} )

                  Բաժանել:

                  1. (−42 ÷ 6)
                  2. (−117 ÷ (−3))
                  Պատասխանել ա

                  (-7)

                  Պատասխան բ

                  (39)

                  Exորավարժություններ ( PageIndex {6} )

                  Բաժանել:

                  1. (−63 ÷ 7)
                  2. (−115 ÷ (−5))
                  Պատասխանել ա

                  (-9)

                  Պատասխան բ

                  (23)

                  Asիշտ այնպես, ինչպես տեսանք բազմապատկմամբ, երբ թիվը բաժանում ենք (1 ), արդյունքը նույն թիվն է: Ի՞նչ է պատահում, երբ թիվը բաժանում ենք (- 1 ) - ի: Եկեք բաժանենք դրական թիվը, իսկ հետո բացասական թիվը ՝ (- 1 ) -ով ՝ տեսնելու, թե ինչ ենք ստանում:

                  8 ÷ (−1)−9 ÷ (−1)
                  −89
                  −8-ը 8-ի հակառակն է9-ը the9-ի հակառակն է

                  Երբ թիվը բաժանում ենք, (- 1 ), ստանում ենք դրա հակառակը:

                  Սահմանում. Բաժնում ըստ (- 1 )

                  Թվի բաժանումը (- 1 ) -ով տալիս է դրա հակառակը:

                  [a div (-1) = -a ]

                  Օրինակ ( PageIndex {4} ) ՝ բաժանել

                  Բաժանեք հետևյալներից յուրաքանչյուրը.

                  1. (16 ÷ (−1))
                  2. (−20 ÷ (−1))

                  Լուծում

                    16 շահաբաժինը բաժանվում է –1 – ի:16 ÷ (–1)
                    Թիվը –1-ով բաժանելը տալիս է դրա հակադրությունը:–16

                    Նկատեք, որ նշանները տարբեր էին, ուստի արդյունքը բացասական էր:

                      –20 շահաբաժինը բաժանվում է –1 – ի:–20 ÷ (–1)
                      Թիվը –1-ով բաժանելը տալիս է դրա հակառակը:20

                      Ուշադրություն դարձրեք, որ նշանները նույնն էին, ուստի գործակիցը դրական էր:

                      Exորավարժություններ ( PageIndex {7} )

                      Բաժանել:

                      1. (6 ÷ (−1))
                      2. (−36 ÷ (−1))
                      Պատասխանել ա

                      (-6)

                      Պատասխան բ

                      (36)

                      Exորավարժություններ ( PageIndex {8} )

                      Բաժանել:

                      1. (28 ÷ (−1))
                      2. (−52 ÷ (−1))
                      Պատասխանել ա

                      (-28)

                      Պատասխան բ

                      (52)

                      Պարզեցրեք արտահայտություններն ամբողջ թվերի հետ

                      Այժմ մենք պարզեցնելու ենք այն արտահայտությունները, որոնք օգտագործում են բոլոր չորս գործողությունները ՝ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը և բաժանումը ՝ ամբողջ թվերի հետ: Մի մոռացեք հետևել գործողությունների կարգին:

                      Օրինակ ( PageIndex {5} ) ՝ պարզեցնել

                      Պարզեցրեք. (7 (−2) + 4 (−7) - 6 ):

                      Լուծում

                      Մենք օգտագործում ենք գործողությունների կարգը: Նախ բազմապատկեք, ապա ավելացրեք և հանեք ձախից աջ:

                      Նախ բազմապատկեք:−14 + (−28)−6
                      Ավելացնել−42 − 6
                      Հանել:−48

                      Exորավարժություններ ( PageIndex {9} )

                      Պարզեցնել ՝ (8 (−3) + 5 (−7) −4 )

                      Պատասխանել

                      (-63)

                      Exորավարժություններ ( PageIndex {10} )

                      Պարզեցրեք. (9 (−3) + 7 (−8) - 1 )

                      Պատասխանել

                      (-84)

                      Օրինակ ( PageIndex {6} ) ՝ պարզեցնել

                      Պարզեցնել ՝

                      1. ((−2)^4)
                      2. (−2^4)

                      Լուծում

                      Էքսպոնենտը պատմում է, թե քանի անգամ է բազային բազմապատկել:

                      1. Էքսպոնենտը (4 ) է, իսկ հիմքը ՝ (- 2 ): Մենք բարձրացնում ենք (- 2 ) չորրորդ ուժին:
                      Գրել ընդլայնված տեսքով:(−2)(−2)(−2)(−2)
                      Բազմապատկել4(−2)(−2)
                      Բազմապատկել−8(−2)
                      Բազմապատկել16
                      1. Էքսպոնենտը (4 ) է, իսկ հիմքը ՝ (2 ): Մենք բարձրացնում ենք (2 ) չորրորդ ուժին և ապա վերցնում հակառակը:
                      Գրել ընդլայնված տեսքով:−(2 • 2 • 2 • 2)
                      Բազմապատկել−(4 • 2 • 2)
                      Բազմապատկել−(8 • 2)
                      Բազմապատկել−16

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {11} )

                      Պարզեցնել ՝

                      1. ((−3)^4)
                      2. (−3^4)
                      Պատասխանել ա

                      (81)

                      Պատասխան բ

                      (-81)

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {12} )

                      Պարզեցնել ՝

                      1. ((−7)^2)
                      2. (−7^2)
                      Պատասխանել ա

                      (49)

                      Պատասխան բ

                      (-49)

                      Օրինակ ( PageIndex {7} ) ՝ պարզեցնել

                      Պարզեցրեք ՝ (12 - 3 (9 - 12) ):

                      Լուծում

                      Գործողության կարգի համաձայն, մենք նախ պարզեցնում ենք փակագծերը: Հետո կբազմապատկվենք ու վերջապես հանենք:

                      Նախ հանեք փակագծերը:12 − 3(−3)
                      Բազմապատկել12 − (−9)
                      Հանել:21

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {13} )

                      Պարզեցնել. (17 - 4 (8 - 11) )

                      Պատասխանել

                      (29)

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {14} )

                      Պարզեցնել ՝ (16 - 6 (7 - 13) )

                      Պատասխանել

                      (52)

                      Օրինակ ( PageIndex {8} ) ՝ պարզեցնել

                      Պարզեցրեք ՝ (8 (−9) ÷ (−2) ^ 3 ):

                      Լուծում

                      Մենք նախ պարզեցնում ենք ցուցիչը, ապա բազմապատկում և բաժանում:

                      Պարզեցրեք ցուցիչը:8(−9) ÷ (−8)
                      Բազմապատկել−72 ÷ (−8)
                      Բաժանել9

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {15} )

                      Պարզեցրեք. (12 (−9) ÷ (−3) ^ 3 )

                      Պատասխանել

                      (4)

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {16} )

                      Պարզեցրեք ՝ (18 (−4) ÷ (−2) ^ 3 )

                      Պատասխանել

                      (9)

                      Օրինակ ( PageIndex {9} ) ՝ պարզեցնել

                      Պարզեցրեք ՝ (- 30 ÷ 2 + (−3) (- 7) ):

                      Լուծում

                      Սկզբից մենք բազմապատկվելու և բաժանվելու ենք ձախից աջ: Հետո կավելացնենք:

                      Բաժանել−15 + (−3)(−7)
                      Բազմապատկել−15 + 21
                      Ավելացնել6

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {17} )

                      Պարզեցրեք. (- 27 ÷ 3 + (−5) (- 6) )

                      Պատասխանել

                      (21)

                      Ercորավարժություններ ( PageIndex {18} )

                      Պարզեցրեք. (- 32 ÷ 4 + (−2) (- 7) )

                      Պատասխանել

                      (6)


                      7.1 Բազմապատկել և բաժանել ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Նախկինում մենք վերանայել ենք կոտորակների հատկությունները և դրանց գործողությունները: Մենք ներմուծեցինք ռացիոնալ թվեր, որոնք պարզապես կոտորակներ են, որտեղ համարիչներն ու հայտարարները ամբողջ թիվ են կազմում: Այս գլխում մենք կաշխատենք այն կոտորակների հետ, որոնց համարիչներն ու հայտարարները բազմանդամ են: Այս տեսակի արտահայտությունը մենք անվանում ենք ռացիոնալ արտահայտություն:

                      Ռացիոնալ արտահայտություն

                      Ռացիոնալ արտահայտությունը p q, p q ձևի արտահայտությունն է, որտեղ էջ և q բազմանդամներ են և q ≠ 0: q ≠ 0:

                      Ահա ռացիոնալ արտահայտությունների մի քանի օրինակներ.

                      Մենք կանենք նույն գործողությունները բանական արտահայտություններով, որոնք արեցինք կոտորակների հետ: Մենք դրանք պարզեցնելու, ավելացնելու, հանելու, բազմապատկելու, բաժանելու և օգտագործելու ենք դրանք ծրագրերում:

                      Որոշեք այն արժեքները, որոնց համար ռացիոնալ արտահայտությունը չի սահմանվում

                      Եթե ​​հայտարարը զրո է, ապա ռացիոնալ արտահայտությունն անորոշ է: Ռացիոնալ արտահայտության համարիչը կարող է լինել 0 - բայց ոչ հայտարար:

                      Երբ աշխատում ենք թվային կոտորակի հետ, հեշտ է խուսափել զրոյի բաժանելուց, քանի որ հայտարարի թիվը կարող ենք տեսնել: Ռացիոնալ արտահայտության մեջ զրոյի բաժանելուց խուսափելու համար չպետք է թույլ տանք փոփոխականի արժեքները, որոնք հայտարարը կդարձնեն զրո:

                      Այսպիսով, նախքան ռացիոնալ արտահայտությամբ որևէ գործողություն սկսենք, մենք նախ ուսումնասիրում ենք այն ՝ գտնելու համար այն արժեքները, որոնք հայտարարը կդարձնեն զրո: Այդ դեպքում, երբ մենք լուծում ենք ռացիոնալ հավասարումը, օրինակ, մենք կիմանանք, թե մեր գտած հանրահաշվական լուծումները թույլատրելի են, թե ոչ:

                      Ինչպես

                      Որոշեք այն արժեքները, որոնց համար ռացիոնալ արտահայտությունը չի որոշվում:

                      Օրինակ 7.1

                      Որոշեք այն արժեքը, որի համար յուրաքանչյուր ռացիոնալ արտահայտություն որոշված ​​չէ.

                      Լուծում

                      Արտահայտությունը չի սահմանվի, երբ հայտարարը զրո լինի:


                      8 a 2 b 3 c հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c անվորոշված ​​է c = 0-ի համար: 8 a 2 b 3 c հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: 3 c = 0 c = 0 8 a 2 b 3 c անվորոշված ​​է c = 0-ի համար:


                      4 b - 3 2 b + 5 հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 անվորոշված ​​է b = - 5 2-ի համար: 4 b - 3 2 b + 5 հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: 2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = - 5 2 4 b - 3 2 b + 5 անվորոշված ​​է b = - 5 2-ի համար:


                      x + 4 x 2 + 5 x + 6 հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 կամ x + 3 = 0 x = −2 կամ x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6-ը սահմանված չէ x = −2 կամ x = −3 համար: x + 4 x 2 + 5 x + 6 հայտարարը նշանակեք զրոյի հավասար և լուծիր փոփոխականի համար: x 2 + 5 x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x + 2 = 0 կամ x + 3 = 0 x = −2 կամ x = −3 x + 4 x 2 + 5 x + 6-ը սահմանված չէ x = −2 կամ x = −3 համար:

                      Որոշեք այն արժեքը, որի համար յուրաքանչյուր ռացիոնալ արտահայտություն որոշված ​​չէ:

                      Որոշեք այն արժեքը, որի համար յուրաքանչյուր ռացիոնալ արտահայտություն որոշված ​​չէ:

                      Պարզեցրեք ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Կոտորակը համարվում է պարզեցված, եթե նրա համարիչում և հայտարարում 1-ից բացի չկան ընդհանուր գործոններ: Նմանապես, պարզեցված ռացիոնալ արտահայտությունն իր համարիչում և հայտարարում չունի ընդհանուր գործոններ, բացի 1-ից:

                      Պարզեցված ռացիոնալ արտահայտություն

                      Ռացիոնալ արտահայտությունը համարվում է պարզեցված, եթե դրա համարիչում և հայտարարում չկան ընդհանուր գործոններ:

                      Մենք օգտագործում ենք համարժեք կոտորակների հատկությունը ՝ թվային կոտորակները պարզեցնելու համար: Մենք այն կրկին նշում ենք այստեղ, քանի որ այն կօգտագործենք նաև ռացիոնալ արտահայտությունները պարզեցնելու համար:

                      Համարժեք կոտորակների հատկություն

                      Եթե ա, բ, և գ թվեր են, որտեղ b ≠ 0, c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0,

                      Ուշադրություն դարձրեք, որ համարժեք կոտորակների հատկության մեջ հատուկ թույլատրելի չեն այն արժեքները, որոնք հայտարարները զրո կդարձնեն: Մենք տեսնում ենք b ≠ 0, c ≠ 0 b ≠ 0, c ≠ 0 հստակ արտահայտված:

                      Ռացիոնալ արտահայտությունները պարզեցնելու համար նախ մենք գրում ենք համարիչը և հայտարարը փաստված տեսքով: Դրանից հետո մենք հեռացնում ենք ընդհանուր գործոնները `օգտագործելով համարժեք կոտորակների հատկությունը:

                      Շատ զգույշ եղեք, երբ հեռացնում եք ընդհանուր գործոնները: Արտադրանքը պատրաստելու համար գործոնները բազմապատկվում են: Դուք կարող եք արտադրանքից հանել գործոն: Դուք չեք կարող տերմին հանել գումարից:

                      Օրինակ 7.2

                      Ինչպես պարզեցնել ռացիոնալ արտահայտությունը

                      Պարզեցրեք ՝ x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12:

                      Լուծում

                      Պարզեցրեք. X 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2. x 2 - x - 2 x 2 - 3 x + 2:

                      Պարզեցրեք ՝ x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2: x 2 - 3 x - 10 x 2 + x - 2:

                      Այժմ մենք ամփոփում ենք այն քայլերը, որոնց պետք է հետևեք `ռացիոնալ արտահայտությունները պարզեցնելու համար:

                      Ինչպես

                      Պարզեցրեք ռացիոնալ արտահայտությունը:

                      1. Քայլ 1. Գործակիցը համարիչն ու հայտարարը ամբողջությամբ:
                      2. Քայլ 2. Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները:

                      Սովորաբար պարզեցված ռացիոնալ արտահայտությունը թողնում ենք ֆակտորացված տեսքով: Այս եղանակով հեշտ է ստուգել, ​​որ մենք հեռացրել ենք բոլորը ընդհանուր գործոնները:

                      Մենք կօգտագործենք մեր սովորած մեթոդները հետևյալ օրինակներում թվանշանների և հայտարարների բազմանդամները գործոնավորելու համար:

                      Ամեն անգամ, երբ մենք գրում ենք բանական արտահայտություն, մենք պետք է այնպիսի հայտարարություն անենք, որը չի թույլատրում այն ​​արժեքները, որոնք հայտարարը կդարձնեն զրո: Այնուամենայնիվ, որպեսզի կենտրոնանանք մատչելի աշխատանքի վրա, մենք կթողնենք այն գրել օրինակներում:

                      Օրինակ 7.3

                      Պարզեցրեք ՝ 3 ա 2 - 12 ա բ + 12 բ 2 6 ա 2 - 24 բ 2 3 ա 2 - 12 ա բ + 12 բ 2 6 ա 2 - 24 բ 2:

                      Լուծում

                      3 ա 2 - 12 ա բ + 12 բ 2 6 ա 2 - 24 բ 2 Գործիչ է համարիչը և հայտարարը ՝ նախ ֆակտորացնելով GCF: 3 (a 2 - 4 ab + 4 b 2) 6 (a 2 - 4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Հեռացնել ընդհանուրը a - 2 b և 3 գործոնները: 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 3 · 2 (a + 2 b) (a - 2 b) a - 2 b 2 (a + 2 b) 3 a 2 - 12 ab + 12 b 2 6 a 2 - 24 b 2 Գործոն համարիչն ու հայտարարը, նախ փաստարկելով GCF- ն: 3 (a 2 - 4 ab + 4 b 2) 6 (a 2 - 4 b 2) 3 (a - 2 b) (a - 2 b) 6 (a + 2 b) (a - 2 b) Հեռացնել ընդհանուրը a - 2 b և 3 գործոնները: 3 (ա - 2 բ) (ա - 2 բ) 3 · 2 (ա + 2 բ) (ա - 2 բ) ա - 2 բ 2 (ա + 2 բ)

                      Պարզեցրեք ՝ 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2 2 x 2 - 12 x y + 18 y 2 3 x 2 - 27 y 2:

                      Պարզեցրեք ՝ 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2:

                      Այժմ մենք կտեսնենք, թե ինչպես պարզեցնել ռացիոնալ արտահայտությունը, որի համարիչը և հայտարարը հակառակ գործոններ ունեն: Մենք նախկինում ներկայացրել ենք հակառակ նշումը. Հակառակը ա է - a - a and - a = −1 · a. - a = −1 · ա.

                      Հակադրություններ ռացիոնալ արտահայտության մեջ

                      Արտահայտությունը և դրա հակառակ բաժանումը to1-ին: 1

                      Մենք կօգտագործենք այս հատկությունը պարզեցնելու համար ռացիոնալ արտահայտությունները, որոնք իրենց համարիչներում և հայտարարներում հակադրություններ են պարունակում: Beգուշացեք a + b a + b- ին և b + a b + a- ին չհամընկնել որպես հակադրություններ: Հիշեցնենք, որ բացի այդ, կարգը նշանակություն չունի, այնպես որ a + b = b + a a + b = b + a. Այսպիսով, եթե a ≠ - b a ≠ - b, ապա a + b b + a = 1: a + b b + a = 1:

                      Օրինակ 7.4

                      Պարզեցրեք. X 2 - 4 x - 32 64 - x 2. x 2 - 4 x - 32 64 - x 2:

                      Լուծում

                      Պարզեցրեք ՝ x 2 - 4 x - 5 25 - x 2: x 2 - 4 x - 5 25 - x 2:

                      Պարզեցրեք ՝ x 2 + x - 2 1 - x 2: x 2 + x - 2 1 - x 2:

                      Բազմապատկել ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Ռացիոնալ արտահայտությունները բազմապատկելու համար մենք անում ենք այն, ինչ արեցինք թվային կոտորակների հետ: Մենք բազմացնում ենք համարիչները և բազմապատկում ենք հայտարարները: Այնուհետեւ, եթե կան ընդհանուր գործոններ, մենք դրանք հեռացնում ենք արդյունքը պարզեցնելու համար:

                      Ռացիոնալ արտահայտությունների բազմապատկում

                      Եթե էջ, q, ռ, և ս բազմանդամներ են, որտեղ q ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, s ≠ 0, ապա

                      Բազմապատկել ռացիոնալ արտահայտությունները, բազմապատկել համարիչները և բազմապատկել հայտարարները:

                      Հիշեք, որ այս գլխի ողջ ընթացքում մենք ենթադրենք, որ բացառվում են բոլոր թվային արժեքները, որոնք հայտարարը զրո կդարձնեն: Մենք չենք գրի սահմանափակումներ յուրաքանչյուր ռացիոնալ արտահայտության համար, բայց հիշենք, որ հայտարարը երբեք չի կարող զրո լինել: Այսպիսով, այս հաջորդ օրինակում x ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 3 և x ≠ 4: x ≠ 4

                      Օրինակ 7.5

                      Ինչպես բազմապատկել ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Պարզեցրեք ՝ 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2: 2 x x 2 - 7 x + 12 · x 2 - 9 6 x 2:

                      Լուծում

                      Պարզեցրեք ՝ 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2 - 4 10 x:

                      Պարզեցրեք ՝ 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2 - 36 3 x 2:

                      Ինչպես

                      Բազմապատկել ռացիոնալ արտահայտությունները:

                      1. Քայլ 1. Յուրաքանչյուր համարիչ և հայտարար հայտարարեք ամբողջությամբ:
                      2. Քայլ 2. Բազմապատկիր համարիչները և հայտարարները:
                      3. Քայլ 3. Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները:

                      Օրինակ 7.6

                      Բազմապատկել ՝ 3 ա 2 - 8 ա - 3 ա 2 - 25 · ա 2 + 10 ա + 25 3 ա 2 - 14 ա - 5: 3 ա 2 - 8 ա - 3 ա 2 - 25 · ա 2 + 10 ա + 25 3 ա 2 - 14 ա - 5:

                      Լուծում

                      3 ա 2 - 8 ա - 3 ա 2 - 25 · ա 2 + 10 ա + 25 3 ա 2 - 14 ա - 5 Գործիչներն ենք համարիչներն ու հայտարարները, ապա բազմապատկում: (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: (3 ա + 1) (ա - 3) (ա + 5) (ա + 5) (ա - 5) (ա + 5) (3 ա + 1) (ա - 5) Պարզեցնել: (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Վերաշարադրել (a - 5) (a - 5) ՝ օգտագործելով ցուցիչ: (ա - 3) (ա + 5) (ա - 5) 2 3 ա 2 - 8 ա - 3 ա 2 - 25 · ա 2 + 10 ա + 25 3 ա 2 - 14 ա - 5 Հաշվիչներն ու հայտարարները գործոն և ապա բազմապատկել: (3 a + 1) (a - 3) (a + 5) (a + 5) (a - 5) (a + 5) (3 a + 1) (a - 5) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: (3 ա + 1) (ա - 3) (ա + 5) (ա + 5) (ա - 5) (ա + 5) (3 ա + 1) (ա - 5) Պարզեցնել: (a - 3) (a + 5) (a - 5) (a - 5) Վերաշարադրել (a - 5) (a - 5) ՝ օգտագործելով ցուցիչ: (ա - 3) (ա + 5) (ա - 5) 2

                      Պարզեցրեք ՝ 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15: 2 x 2 + 5 x - 12 x 2 - 16 · x 2 - 8 x + 16 2 x 2 - 13 x + 15:

                      Պարզեցրեք ՝ 4 b 2 + 7 b - 2 1 - b 2 · b 2 - 2 b + 1 4 b 2 + 15 b - 4: 4 բ 2 + 7 բ - 2 1 - բ 2 · բ 2 - 2 բ + 1 4 բ 2 + 15 բ - 4:

                      Բաժանեք ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Likeիշտ այնպես, ինչպես արեցինք թվային կոտորակների համար, ռացիոնալ արտահայտությունները բաժանելու համար, առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդի պատասխանով:

                      Ռացիոնալ արտահայտությունների բաժին

                      Եթե էջ, q, r, և ս բազմանդամներ են, որտեղ q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, ապա

                      Ռացիոնալ արտահայտությունները բաժանելու համար բազմապատկիր առաջին կոտորակը երկրորդի պատասխանով:

                      Երբ բաժանումը վերաշարադրենք որպես առաջին արտահայտության բազմապատկում երկրորդի պատասխանով, ապա մենք ամեն ինչ գործոնացնում ենք և փնտրում ընդհանուր գործոններ:

                      Օրինակ 7.7

                      Ինչպես բաժանել ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Բաժանել. P 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6. p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6.

                      Լուծում

                      Պարզեցրեք. X 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6. x 3 - 8 3 x 2 - 6 x + 12 ÷ x 2 - 4 6.

                      Պարզեցրեք ՝ 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1: 2 z 2 z 2 - 1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1:

                      Ինչպես

                      Բաժանիր ռացիոնալ արտահայտությունները:

                      1. Քայլ 1. Բաժանումը վերաշարադրել որպես առաջին բանական արտահայտության արդյունք և երկրորդի պատասխան:
                      2. Քայլ 2. Հաշվիչներն ու հայտարարները ամբողջությամբ գործոնավորեք:
                      3. Քայլ 3. Բազմացրեք թվիչները և հայտարարները միասին:
                      4. Քայլ 4. Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները:

                      Հանրահաշվի օգտագործման լեզվից հիշեք, որ բարդ կոտորակը կոտորակ է, որը պարունակում է համարիչում, հայտարարում կամ երկուսում էլ կոտորակ: Նաև հիշեք, որ կոտորակային բար նշանակում է բաժանում: Բարդ կոտորակը երկու կոտորակի բաժանման գրի մեկ այլ եղանակ է:

                      Օրինակ 7.8

                      Բաժանել ՝ 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6:

                      Լուծում

                      6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Վերաշարադրել բաժանման նշանով: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Վերաշարադրել ՝ որպես առաջին անգամների երկրորդի փոխադարձ արտադրանք: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Գործիչներով հաշվիչներն ու հայտարարները, ապա բազմապատկենք: (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Պարզեցնել: 3 x - 2 4 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Վերաշարադրել բաժանման նշանով: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 ÷ 2 x 2 - 7 x + 3 x 2 - 5 x + 6 Վերաշարադրել ՝ որպես առաջին անգամների երկրորդի փոխադարձ արտադրանք: 6 x 2 - 7 x + 2 4 x - 8 · x 2 - 5 x + 6 2 x 2 - 7 x + 3 Գործիչներով հաշվիչներն ու հայտարարները, ապա բազմապատկենք: (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: (2 x - 1) (3 x - 2) (x - 2) (x - 3) 4 (x - 2) (2 x - 1) (x - 3) Պարզեցնել: 3 x - 2 4

                      Պարզեցրեք ՝ 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2 - 14 x - 5 x 2 + x - 30:

                      Պարզեցրեք. Y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4 y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4:

                      Եթե ​​մենք ունենք ավելի քան երկու բանական արտահայտություն աշխատելու, մենք դեռ հետևում ենք նույն ընթացակարգին: Առաջին քայլը կլինի ցանկացած բաժանում վերաշարադրել որպես բազմապատկում փոխադարձով: Հետո, մենք գործոնացնում և բազմանում ենք:

                      Օրինակ 7.9

                      Կատարեք նշված գործողությունները. 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16: 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2 - 3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16:

                      Լուծում

                      Բաժանումը վերաշարադրել որպես բազմապատկում
                      փոխադարձությամբ:
                      Գործոններ համարիչներն ու հայտարարները:
                      Բազմապատկիր կոտորակները: Հաստատությունները բերելով դեպի
                      ճակատը կօգնի ընդհանուր գործոնները հեռացնելիս:
                      Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները:
                      Պարզեցնել

                      Կատարեք նշված գործողությունները ՝ 4 մ + 4 3 մ - 15 · մ 2 - 3 մ - 10 մ 2 - 4 մ - 32 ÷ 12 մ - 36 6 մ - 48: 4 մ + 4 3 մ - 15 · մ 2 - 3 մ - 10 մ 2 - 4 մ - 32 ÷ 12 մ - 36 6 մ - 48:

                      Կատարեք նշված գործողությունները ՝ 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n. 2 n 2 + 10 n n - 1 ÷ n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n.

                      Բազմապատկել և բաժանել ռացիոնալ գործառույթները

                      Ռացիոնալ գործառույթ

                      Ռացիոնալ ֆունկցիան ձևի ֆունկցիա է

                      Ռացիոնալ ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ այն արժեքների, որոնք զրոյով բաժանման պատճառ կդառնան: Մենք պետք է վերացնենք ցանկացած արժեք, որը կազմում է q (x) = 0: q (x) = 0:

                      Ինչպես

                      Որոշեք ռացիոնալ ֆունկցիայի տիրույթը:

                      1. Քայլ 1. հայտարարը հավասարեցրու զրոյի:
                      2. Քայլ 2. Լուծիր հավասարումը:
                      3. Քայլ 3. Դոմենը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ Քայլ 2-ում հայտնաբերված արժեքների:

                      Օրինակ 7.10

                      Գտեք R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48 տիրույթը: R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2 - 16 x - 48:

                      Լուծում

                      Տիրույթը կլինի բոլոր իրական թվերը, բացառությամբ այն արժեքների, որոնք հայտարարը զրո են դարձնում: Մենք հայտարարը հավասար կսահմանենք զրոյի, կլուծենք այդ հավասարումը, ապա այդ արժեքները կբացառենք տիրույթից:

                      Նշանակիչը դնել զրոյի: 4 x 2 - 16 x - 48 = 0 Գործոն, առաջին գործոնը GCF- ից: 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Օգտագործեք զրո արտադրանքի հատկությունը: 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Լուծել: x = 6 x = −2 R (x) տիրույթը բոլոր իրական թվերն են, որտեղ x ≠ 6 և x ≠ - 2: Նշանակիչը դնել զրոյի: 4 x 2 - 16 x - 48 = 0 Գործոն, առաջին գործոնը GCF- ից: 4 (x 2 - 4 x - 12) = 0 4 (x - 6) (x + 2) = 0 Օգտագործեք զրո արտադրանքի հատկությունը: 4 ≠ 0 x - 6 = 0 x + 2 = 0 Լուծել: x = 6 x = −2 R (x) տիրույթը բոլոր իրական թվերն են, որտեղ x ≠ 6 և x ≠ - 2:

                      Գտեք R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20 տիրույթը: R (x) = 2 x 2 - 10 x 4 x 2 - 16 x - 20:

                      Գտեք R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64 տիրույթը: R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2 - 16 x - 64:

                      Ռացիոնալ ֆունկցիաները բազմապատկելու համար հավասարության աջ կողմում բազմապատկում ենք ստացված ռացիոնալ արտահայտությունները `օգտագործելով նույն տեխնիկան, որը մենք օգտագործում էինք ռացիոնալ արտահայտությունները բազմապատկելու համար:

                      Օրինակ 7.11

                      Լուծում

                      R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2 - 8 x + 15 · x 2 - 25 2 x + 10 Գործակից յուրաքանչյուր համարիչ և հայտարար: R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) Բազմապատկիր համարիչները և հայտարարները: R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Հեռացնել ընդհանուր գործոնները: R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Պարզեցնել: R (x) = 1 R (x) = f (x) · g (x) R (x) = 2 x - 6 x 2 - 8 x + 15 · x 2 - 25 2 x + 10 Գործոն յուրաքանչյուր համարիչի և հայտարարի , R (x) = 2 (x - 3) (x - 3) (x - 5) · (x - 5) (x + 5) 2 (x + 5) Բազմապատկիր համարիչները և հայտարարները: R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Հեռացնել ընդհանուր գործոնները: R (x) = 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) 2 (x - 3) (x - 5) (x + 5) Պարզեցնել: R (x) = 1

                      Ռացիոնալ ֆունկցիաները բաժանելու համար, արդյունքում ռացիոնալ արտահայտությունները բաժանում ենք հավասարության աջ կողմում `օգտագործելով նույն տեխնիկան, որը մենք օգտագործել ենք ռացիոնալ արտահայտությունները բաժանելու համար:

                      Օրինակ 7.12

                      Լուծում

                      R (x) = f (x) g (x) փոխարինել f (x), g (x) գործառույթներում: R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x 9 x 2 - 45 x x 2 - 7 x + 10 Բաժանումը շարադրել որպես f (x) և g (x) փոխադարձների արդյունք: R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Գործիչ ՝ թվիչները և հայտարարները, ապա բազմապատկելով: R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4 ) R (x) = f (x) g (x) փոխարինել f (x), g (x) գործառույթներում: R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x 9 x 2 - 45 x x 2 - 7 x + 10 Բաժանումը շարադրել որպես f (x) - ի և g (x) - ի պատասխան: R (x) = 3 x 2 x 2 - 4 x · x 2 - 7 x + 10 9 x 2 - 45 x Գործիչ ՝ թվիչները և հայտարարները, ապա բազմապատկելով: R (x) = 3 · x · x · (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x · (x - 5) Պարզեցրեք ՝ բաժանելով ընդհանուր գործոնները: R (x) = 3 · x · x (x - 5) (x - 2) x (x - 4) · 3 · 3 · x (x - 5) R (x) = x - 2 3 (x - 4 )

                      Բաժին 7.1. Վարժություններ

                      Պրակտիկան դարձնում է կատարյալ

                      Որոշեք այն արժեքները, որոնց համար ռացիոնալ արտահայտությունը չի սահմանվում

                      Հաջորդ վարժություններում որոշեք այն արժեքները, որոնց համար չի սահմանվում ռացիոնալ արտահայտությունը:

                      Պարզեցրեք ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Հաջորդ վարժություններում պարզեցրեք յուրաքանչյուր ռացիոնալ արտահայտությունը:

                      p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p - 6

                      x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      8 բ 2 - 32 բ 2 բ 2 - 6 բ - 80 8 բ 2 - 32 բ 2 բ 2 - 6 բ - 80

                      −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 - 10 c −10 c 2 + 30 c + 100

                      3 մ 2 + 30 մ ն + 75 ն 2 4 մ 2 - 100 ն 2 3 մ 2 + 30 մ ն + 75 ն 2 4 մ 2 - 100 ն 2

                      5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2 5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2 - 49 s 2

                      Բազմապատկել ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Հաջորդ վարժություններում բազմապատկեք ռացիոնալ արտահայտությունները:

                      5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

                      12 ա 3 բ բ 2 · 2 ա բ 2 9 բ 3 12 ա 3 բ բ 2 · 2 ա բ 2 9 բ 3

                      5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p 5 p 2 p 2 - 5 p - 36 · p 2 - 16 10 p

                      3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q 3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2 - 9 9 q

                      2 y 2 - 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y 2 y 2 - 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y

                      z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2

                      28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49 28 - 4 b 3 b - 3 · b 2 + 8 b - 9 b 2 - 49

                      72 մ - 12 մ 2 8 մ + 32 · մ 2 + 10 մ + 24 մ 2 - 36 72 մ - 12 մ 2 8 մ + 32 · մ 2 + 10 մ + 24 մ 2 - 36

                      c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 c - 5 c 2 - 10 c + 25 c 2 - 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 - 14 գ - 5

                      2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 d - 18 2 d 2 + d - 3 d 2 - 16 · d 2 - 8 d + 16 2 d 2 - 9 դ - 18

                      2 մ 2 - 3 մ - 2 2 մ 2 + 7 մ + 3 · 3 մ 2 - 14 մ + 15 3 մ 2 + 17 մ - 20 2 մ 2 - 3 մ - 2 2 մ 2 + 7 մ + 3 · 3 մ 2 - 14 մ + 15 3 մ 2 + 17 մ - 20

                      2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 n + 21 2 n 2 - 3 n - 14 25 - n 2 · n 2 - 10 n + 25 2 n 2 - 13 ն + 21

                      Բաժանեք ռացիոնալ արտահայտությունները

                      Հաջորդ վարժություններում բաժանեք ռացիոնալ արտահայտությունները:

                      v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11 v - 5 11 - v ÷ v 2 - 25 v - 11

                      10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w 10 + w w - 8 ÷ 100 - w 2 8 - w

                      3 վ 2 ս 2 - 16 դ 3 3 4 դ 2 + 16 վ 3 - 64 3 վ 2 վ 2 - 16 դ 3 + 4 ս 2 + 16 վ 3 - 64

                      r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 - 9 15 ÷ r 3 - 27 5 r 2 + 15 r + 45

                      p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 - q 2 12

                      v 3 - 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 - 4 w 2 4 v 3 - 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 - 4 w 2 4

                      x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50) x 2 + 3 x - 10 4 x ÷ (2 x 2 + 20 x + 50)

                      2 y 2 - 10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2 - 32 y z) 2 y 2 - 10 y z - 48 z 2 2 y - 1 ÷ (4 y 2 - 32 y z)

                      2 ա 2 - ա - 21 5 ա + 20 ա 2 + 7 ա + 12 ա 2 + 8 ա + 16 2 ա 2 - ա - 21 5 ա + 20 ա 2 + 7 ա + 12 ա 2 + 8 ա + 16

                      3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2 - 7 b - 15 3 b 2 + 2 b - 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b - 8 2 b 2 - 7 բ - 15

                      12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5 12 c 2 - 12 2 c 2 - 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 - 13 c + 5

                      4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2 - 4 7 d 2 - 12 d - 4 4 d 2 + 7 d - 2 35 d + 10 d 2 - 4 7 d 2 - 12 d - 4

                      Հաջորդ վարժությունների համար կատարեք նշված գործողությունները:

                      10 մ 2 + 80 մ 3 մ - 9 · մ 2 + 4 մ - 21 մ 2 - 9 մ + 20 ÷ 5 մ 2 + 10 մ 2 մ - 10 10 մ 2 + 80 մ 3 մ - 9 · մ 2 + 4 մ - 21 մ 2 - 9 մ + 20 5 մ 2 + 10 մ 2 մ - 10

                      4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 - n - 2 n 2 + n - 30 ÷ 108 n 2 - 24 nn + 6

                      12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3 - 9 p 2 12 p 2 + 3 pp + 3 ÷ p 2 + 2 p - 63 p 2 - p - 12 · p - 7 9 p 3 - 9 p 2

                      6 q + 3 9 q 2 - 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 - 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q - 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

                      Բազմապատկել և բաժանել ռացիոնալ գործառույթները

                      Հաջորդ վարժություններում գտեք յուրաքանչյուր գործառույթի տիրույթը:

                      R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25 R (x) = x 3 - 2 x 2 - 25 x + 50 x 2 - 25

                      R (x) = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 - 4 R (x) = x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 x 2 - 4

                      R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36 R (x) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x - 36

                      R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80 R (x) = 8 x 2 - 32 x 2 x 2 - 6 x - 80

                      Հետևյալ վարժությունների համար գտեք R (x) = f (x) · g (x) R (x) = f (x) · g (x), որտեղ f (x) f (x) և g (x) g ( x) տրված են.

                      Հետևյալ վարժությունների համար գտեք R (x) = f (x) g (x) R (x) = f (x) g (x) որտեղ f (x) f (x) և g (x) g (x) տրված են

                      Գրելու վարժություններ

                      Բացատրեք, թե ինչպես եք գտնում դրա արժեքները x որի համար սահմանված չէ x 2 - x - 20 x 2 - 4 x 2 - x - 20 x 2 - 4 բանական արտահայտությունը:

                      Բացատրեք ձեր ձեռնարկած բոլոր քայլերը p 2 + 4 p - 21 9 - p 2 ռացիոնալ արտահայտությունը պարզեցնելու համար: p 2 + 4 p - 21 9 - p 2:

                      Ինքնաստուգում

                      The Վարժություններն ավարտելուց հետո օգտագործեք այս ստուգաթերթը `գնահատելու սույն բաժնի նպատակների ձեր տիրապետումը:

                      Ⓑ Եթե ձեր ստուգումների մեծ մասը լիներ ՝

                      … Վստահորեն Շնորհավորում եմ Դուք հասել եք ձեր նպատակներին այս բաժնում: Մտածեք ձեր օգտագործած ուսումնասիրության հմտությունների մասին, որպեսզի կարողանաք շարունակել օգտագործել դրանք: Ի՞նչ արեցիք, որ վստահ լինեիք այս բաներն անելու ձեր ունակությանը: Եղեք կոնկրետ:

                      … Որոշ օգնությամբ: Դրան պետք է արագ անդրադառնանք, քանի որ ձեր կողմից չսիրող թեմաները փոս են դառնում հաջողության հասնելու ձեր ճանապարհին: Մաթեմատիկան հաջորդական է. Յուրաքանչյուր թեմա հիմնված է նախորդ աշխատանքի վրա: Կարևոր է համոզվել, որ ամուր հիմք ունեք նախքան առաջ շարժվելը: Ո՞ւմ կարող եք օգնություն խնդրել: Ձեր դասընկերները և դասախոսը լավ ռեսուրսներ են: Կամպուսում կա՞ մի տեղ, որտեղ առկա են մաթեմատիկայի դասախոսներ: Կարո՞ղ եք բարելավել ձեր ուսման հմտությունները:

                      … Ոչ - չեմ հասկանում: Սա շատ կարևոր է, և դուք չպետք է անտեսեք այն: Դուք պետք է անհապաղ օգնություն ստանաք, հակառակ դեպքում դուք արագ կծանրաբեռնվեք: Հնարավորինս շուտ այցելեք ձեր դասավանդողին ՝ քննարկելու ձեր իրավիճակը: Միասին կարող եք մշակել ծրագիր ՝ ձեզ անհրաժեշտ օգնությունը ստանալու համար:

                      Որպես Amazon Associate, մենք վաստակում ենք որակյալ գնումներից:

                      Wantանկանու՞մ եք մեջբերել, կիսվել կամ փոփոխել այս գիրքը: Այս գիրքը Creative Commons Attribution լիցենզիա 4.0-ն է, և դուք պետք է վերագրեք OpenStax- ին:

                        Եթե ​​այս գրքի ամբողջ մասը կամ դրա մի մասը վերաբաշխում եք տպագիր ձևաչափով, ապա յուրաքանչյուր ֆիզիկական էջում պետք է ներառեք հետևյալ վերագրումը.

                      • Մեջբերում առաջացնելու համար օգտագործեք ստորև բերված տեղեկատվությունը: Խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեջբերման գործիք, ինչպիսին է այս մեկը:
                        • Հեղինակներ ՝ Լինն Մարեկեկ
                        • Հրատարակիչ / կայք ՝ OpenStax
                        • Գրքի վերնագիր ՝ Միջանկյալ հանրահաշիվ
                        • Հրապարակման ամսաթիվը ՝ 14 մարտի, 2017 թ
                        • Որտեղից ՝ Հյուսթոն, Տեխաս
                        • Գրքի URL ՝ https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/1-introduction
                        • Բաժնի URL. Https://openstax.org/books/intermediate-algebra/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

                        © 16 սեպտեմբերի, 2020 թ. OpenStax. OpenStax- ի կողմից արտադրված դասագրքերի բովանդակությունը լիցենզավորված է Creative Commons Attribution License 4.0 լիցենզիայով: OpenStax անվանումը, OpenStax լոգոն, OpenStax գրքի շապիկները, OpenStax CNX անունը և OpenStax CNX լոգոն ենթակա չեն Creative Commons լիցենզիային և չեն կարող վերարտադրվել առանց Ռայսի համալսարանի նախնական և արտահայտված գրավոր համաձայնության:


                        Maharashtra Board 7 դասի մաթեմատիկական լուծումներ Գլուխ 2 ամբողջ թվերի պրակտիկայի բազմապատկում և բաժանում 9

                        1 - ին հարց.
                        Լուծել
                        ես (-96) 16 ֆունտ
                        ii. 98 ÷ (-28)
                        iii. (-51) ÷ 68
                        iv 38 ÷ (-57)
                        հ. (-85) ÷ 20
                        vi. (-150) ÷ (-25)
                        vii 100 ÷ 60
                        viii 9 ÷ (-54)
                        ix 78 ÷ 65
                        x (-5) ÷ (-315)
                        Լուծում.
                        ես (-96) 16 ֆունտ

                        ii. 98 ÷ (-28)

                        iii. (-51) ÷ 68

                        iv 38 ÷ (-57)

                        հ. (-85) ÷ 20

                        vi. (-150) ÷ (-25)

                        vii 100 ÷ 60

                        viii 9 ÷ (-54)

                        ix 78 ÷ 65

                        x (-5) ÷ (-315)

                        Հարց 2
                        Գրիր ամբողջ թվերի երեք բաժանում, որպեսզի յուրաքանչյուրի կոտորակային ձևը լինի ( frac <24> <5> ):
                        Լուծում.

                        Հարց 3
                        Գրիր ամբողջ թվերի երեք բաժանում, որպեսզի յուրաքանչյուրի կոտորակային ձևը լինի ( frac <-5> <7> ):
                        Լուծում.

                        Հարց 4
                        Ստորև լճակի ձկները մի շարք թվեր են կրում: (Ընտրեք ցանկացած 4 զույգ և այդ թվերի հետ կատարեք չորս բազմապատկում: Այժմ ընտրեք չորս այլ զույգ և այս թվերով կատարեք բաժանումներ:
                        Օրինակներ.
                        ես (-13) × (-15) = 195
                        ii. (-24) ÷ 9 = ( frac <-24> <9> = frac <-8> <3> )

                        Լուծում.

                        1. (-13) × 9 = -117
                        2. 12 × 13 = 156
                        3. 9 × (-37) = -333
                        4. (-15) × (-8) = 120
                        5. ((- 28) div 12 = frac <-28> <12> = frac <(- 1) անգամ (28)> <12> = frac <-7> <3> )
                        6. (12 div 9 = frac <12> <9> = frac <4> <3> )
                        7. (9 div (-24) = frac <9> <-24> = frac <9> <(- 1) անգամ 24> = frac <-3> <8> )
                        8. ((- 18) div (-27) = frac <-18> <-27> = frac <(- 1) անգամ 18> <(- 1) անգամ 27> = frac <2> <3> )

                        Նշում. 2, 3 և 4 խնդիրները շատ պատասխաններ ունեն: Ուսանողները կարող են գրել պատասխաններ, բացի տրվածներից:


                        1.4 Բազմապատկել և բաժանել ամբողջ թվերը

                        Այս բաժնում ընդգրկված թեմաների ավելի մանրամասն ներածություն կարելի է գտնել այստեղ Prealgebra գլուխ, Ամբողջ թվեր.

                        Բազմապատկել ամբողջ թվերը

                        Քանի որ բազմապատկումը կրկնվող գումարման համար մաթեմատիկական սղագրություն է, մեր մոդելը հեշտությամբ կարող է կիրառվել ամբողջ թվերի բազմապատկումը ցույց տալու համար: Եկեք նայենք այս կոնկրետ մոդելին ՝ տեսնելու, թե ինչ նմուշներ ենք նկատում: Մենք կօգտագործենք նույն օրինակները, որոնք օգտագործել ենք գումարման և հանումների համար: Այստեղ մենք կօգտագործենք մոդելը, պարզապես օգնելու համար, որ մենք հայտնաբերենք օրինակը:

                        Հաջորդ երկու օրինակներն ավելի հետաքրքիր են:

                        Ուշադրություն դարձրեք, որ երկու ստորագրված թվերի բազմապատկման համար, երբ

                        • նշաններն են նույնը, ապրանքն է դրական.
                        • նշաններն են տարբեր, ապրանքն է բացասական.

                        Մենք այս ամենը կտեղադրենք ստորև բերված գծապատկերում:

                        Ստորագրված թվերի բազմապատկում

                        Երկու ստորագրված թվերի բազմապատկման համար.

                        Տարբեր նշաններ Ապրանք Օրինակ
                        Դրական · բացասական
                        Բացասական · դրական
                        Բացասական
                        Բացասական
                        7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50 7 ( −9 ) = −63 −5 · 10 = −50

                        Օրինակ 1.46

                        Լուծում

                        Երբ թիվը բազմացնում ենք 1-ի վրա, արդյունքը նույն թիվն է: Ի՞նչ է պատահում, երբ թիվը բազմապատկում ենք by1-ով: −1? Եկեք բազմապատկենք դրական թիվը, իսկ հետո բացասական թիվը −1 by1-ով ՝ տեսնելու, թե ինչ ենք ստանում:

                        Ամեն անգամ, երբ մի թիվ բազմապատկենք −1-ով, −1-ով, կստանանք դրա հակառակը:

                        Բազմապատկում −1 −1-ով

                        Թիվը −1 −1-ով բազմապատկելը տալիս է դրա հակառակը:

                        Օրինակ 1.47

                        Լուծում


                        Բազմապատկել ՝ նշելով, որ նշանները տարբեր են, ուստի արտադրանքը բացասական է:
                        −1 · 7 −7 −7-ը 7-ի հակառակն է: −1 · 7 −7 −7 7-ի հակառակն է:

                        Բազմապատկել ՝ նշելով, որ նշանները նույնն են, ուստի ապրանքը դրական է:
                        −1 (−11) 11 11-ը the11-ի հակառակն է: −1 (−11) 11 11-ը the11-ի հակառակն է:

                        Բաժանիր ամբողջ թվերը

                        Բաժանումը հետևում է նույն կանոններին, ինչ բազմապատկումը:

                        Երկու ստորագրված համարների բաժանման համար, երբ.

                        • նշաններն են նույնը, գործակիցն է դրական.
                        • նշաններն են տարբեր, գործակիցն է բացասական.

                        Եվ հիշեք, որ մենք միշտ կարող ենք բազմապատկման միջոցով ստուգել բաժանման խնդրի պատասխանը:

                        Ստորագրված թվերի բազմապատկում և բաժանում

                        Երկու ստորագրված թվերի բազմապատկման և բաժանման համար.

                        • Եթե ​​նշանները նույնն են, արդյունքը դրական է:
                        • Եթե ​​նշանները տարբեր են, արդյունքը բացասական է:
                        Նույն նշանները Արդյունք
                        Երկու դրական
                        Երկու բացասական
                        Դրական
                        Դրական
                        Եթե ​​նշանները նույնն են, արդյունքը դրական է:
                        Տարբեր նշաններ Արդյունք
                        Դրական ու բացասական
                        Բացասական ու դրական
                        Բացասական
                        Բացասական
                        Եթե ​​նշանները տարբեր են, արդյունքը բացասական է:

                        Օրինակ 1.48

                        Լուծում

                        Պարզեցրեք արտահայտությունները ամբողջ թվերի հետ

                        Ի՞նչ է պատահում, երբ արտահայտության մեջ կա երկուից ավելի թիվ: Գործողությունների կարգը դեռ կիրառվում է, երբ բացասականները ներառված են: Հիշո՞ւմ եք իմ սիրելի մորաքույր Սալիին:

                        Փորձենք մի քանի օրինակներ: Մենք պարզեցնելու ենք այն արտահայտությունները, որոնք օգտագործում են բոլոր չորս գործողություններն էլ ամբողջ թվերի հետ ՝ գումարման, հանումի, բազմապատկման և բաժանման: Մի մոռացեք հետևել գործողությունների կարգին:

                        Օրինակ 1.49

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.50

                        Լուծում

                        Նկատեք ⓐ և ⓐ մասերի տարբերությունը: Part մասում, էքսպոնենտը նշանակում է փակագծում եղածը ՝ (−2) (−2) բարձրացնել 4-րդ 4-րդ հզորության: Մասամբ ⓑ, էքսպոնենտը նշանակում է բարձրացնել միայն 2-ը 4-րդ 4-րդ հզորությունը և ապա վերցնել հակառակը:

                        Հաջորդ օրինակը հիշեցնում է մեզ նախ պարզեցնել փակագծերը:

                        Օրինակ 1.51

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.52

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.53

                        Լուծում

                        Գնահատեք փոփոխական արտահայտությունները ամբողջ թվերի հետ

                        Հիշեք, որ արտահայտությունը գնահատելը նշանակում է արտահայտության փոփոխականին համարը փոխարինել թիվ: Այժմ մենք կարող ենք օգտագործել ինչպես բացասական, այնպես էլ դրական թվեր:

                        Օրինակ 1.54

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.55

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.56

                        Լուծում

                        Օրինակ 1.57

                        Լուծում

                        Արտահայտությունները թարգմանեք ամբողջ թվերի արտահայտություններին

                        Անգլերենը հանրահաշիվ թարգմանելու մեր ավելի վաղ աշխատությունը վերաբերում է նաև արտահայտություններին, որոնք ներառում են և՛ դրական, և՛ բացասական թվեր:

                        Օրինակ 1.58

                        Թարգմանեք և պարզեցրեք. 8-ի և −12-ի, −12-ի հանրագումարը ավելացել է 3-ով:

                        Լուծում

                        Թարգմանեք և պարզեցրեք 9-ի և −16-ի, −16-ի գումարը `4-ով ավելացված:

                        Թարգմանեք և պարզեցրեք −8 −8 և −12, −12 հանրագումարները `7-ով ավելացված:

                        Երբ մենք առաջին անգամ ներկայացրեցինք գործողության խորհրդանիշները, մենք տեսանք, որ արտահայտությունը կարող է ընթերցվել մի քանի եղանակներով: Դրանք թվարկված են ստորև բերված գծապատկերում:

                        Beգուշացեք ստանալու համար ա և բ ճիշտ կարգով!

                        Օրինակ 1.59

                        Թարգմանեք և ապա պարզեցրեք 13 13-ի և −21 −21-ի տարբերությունը 2419-ից հանեք 24-ը: 19

                        Լուծում

                        Թարգմանեք և պարզեցրեք 14 14-ի և −23 −23-ի տարբերությունը 21 17-ից հանեք 21-ը: 17

                        Թարգմանեք և պարզեցրեք 11 11-ի և −19 −19-ի տարբերությունը 18 -ից հանեք 18-ը: 11

                        Եվս մեկ անգամ, անգլերենը հանրահաշիվ թարգմանելու մեր նախորդ աշխատանքը տեղափոխում է արտահայտություններ, որոնք ներառում են և՛ բազմապատկում, և՛ բաժանող ամբողջ թվեր: Հիշեք, որ բազմապատկման հիմնական բառը «արտադրանք» է, իսկ բաժանման համար `« քանակ »:

                        Օրինակ 1.60

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. −2 −2 և 14-ի արտադրանքը:

                        Լուծում

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. −5 −5 և 12-ի արտադրանքը:

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. 8-ի և −13-ի արտադրանքը: −13

                        Օրինակ 1.61

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. −56 −56 և −7 քանորդը: 7

                        Լուծում

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. −63 −63 և −9 -ի գործակիցը: 9

                        Թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտություն և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք. −72 −72 և −9 -ի գործակիցը: 9

                        Inteրագրերում օգտագործեք ամբողջ թվեր

                        Մենք նախանշելու ենք ծրագրերը լուծելու համար: Դժվար է ինչ-որ բան գտնել, եթե չգիտենք, թե ինչ ենք փնտրում կամ ինչպե՞ս անվանել: Այսպիսով, երբ մենք դիմում ենք լուծում, մենք նախ պետք է որոշենք, թե ինչ խնդիր է մեզ խնդրում գտնել: Այնուհետև մենք կգրենք մի արտահայտություն, որը տալիս է տեղեկատվությունը ՝ այն գտնելու համար: Մենք կվերածենք արտահայտությունը արտահայտության և այնուհետև պարզեցնելու ենք պատասխանը ստանալու համար: Վերջապես, մենք ամփոփում ենք պատասխանը նախադասության մեջ ՝ համոզվելու, որ դա իմաստ ունի:

                        Օրինակ 1.62

                        Ինչպես կիրառել ռազմավարություն ՝ ամբողջ թվերի հետ դիմումները լուծելու համար

                        Առավոտյան Իլինոյսի Ուրբանայում ջերմաստիճանը 11 աստիճան էր: Կեսօրվա կեսին ջերմաստիճանը իջել էր մինչև −9 −9 աստիճան: Ո՞րն էր առավոտյան և ցերեկային ջերմաստիճանների տարբերությունը:

                        Լուծում

                        Առավոտյան Ալյասկայի Անկորիջ քաղաքում ջերմաստիճանը 15 աստիճան էր: Կեսօրվա կեսին ջերմաստիճանը իջավ մինչև 30 աստիճան զրոյից ցածր: Ինչո՞վ էր տարբերվում առավոտյան և ցերեկային ջերմաստիճանը:

                        Ինչպես

                        Կիրառել ռազմավարություն ՝ ամբողջ թվերի հետ դիմումները լուծելու համար:

                        1. Քայլ 1. Կարդացեք խնդիրը: Համոզվեք, որ բոլոր բառերը և գաղափարները հասկանալի են
                        2. Քայլ 2. Որոշեք, թե ինչն է մեզ խնդրում գտնել:
                        3. Քայլ 3. Գրեք մի արտահայտություն, որը տալիս է տեղեկատվությունը այն գտնելու համար:
                        4. Քայլ 4. Արտահայտությունը թարգմանեք արտահայտության:
                        5. Քայլ 5. Պարզեցրեք արտահայտությունը:
                        6. Քայլ 6. Հարցին պատասխանեք ամբողջական նախադասությամբ:

                        Օրինակ 1.63

                        Երրորդ քառորդում Mustangs ֆուտբոլային թիմը երեք մետրանոց ստացավ: Յուրաքանչյուր տուգանք նրանց տվեց տասնհինգ բակեր: Ի՞նչ կորած բակեր է:

                        Լուծում

                        Քայլ 1 Կարդացեք խնդիրը: Համոզվեք, որ բոլոր բառերը և գաղափարները հասկանալի են:
                        Քայլ 2 Բացահայտեք այն, ինչ մեզ խնդրում են գտնել: կորցրած բակերի քանակը
                        Քայլ 3 Գրեք մի արտահայտություն, որը տալիս է տեղեկատվությունը `այն գտնելու համար: 15-մետրանոց տուգանք երեք անգամ
                        Քայլ 4 Արտահայտությունը թարգմանեք արտահայտության: 3 ( −15 ) 3 ( −15 )
                        Քայլ 5 Պարզեցրեք արտահայտությունը: −45 −45
                        Քայլ 6: Հարցին պատասխանեք ամբողջական նախադասությամբ: Թիմը կորցրեց 45 բակեր:

                        Արջերը խաղում էին վատ և ունեին յոթ տուգանայիններ խաղում: Յուրաքանչյուր տուգանքի արդյունքում 15 բակեր կորուստ էր: Ինչքա՞ն է տուգանքների պատճառով կորցրած բակերի քանակը:

                        Բիլը համալսարանում օգտագործում է բանկոմատը, քանի որ այն հարմար է: Այնուամենայնիվ, ամեն անգամ, երբ այն օգտագործում է, գանձվում է $ 2 վճար: Անցյալ ամիս նա ութ անգամ օգտվեց բանկոմատից: Որքա՞ն էր նրա ընդհանուր վճարը բանկոմատից օգտվելու համար:

                        Բաժին 1.4 Վարժություններ

                        Պրակտիկան դարձնում է կատարյալ

                        Բազմապատկել ամբողջ թվերը

                        Հաջորդ վարժություններում բազմապատկեք:

                        Բաժանիր ամբողջ թվերը

                        Հաջորդ վարժություններում բաժանեք:

                        Պարզեցրեք արտահայտություններն ամբողջ թվերի հետ

                        Հաջորդ վարժություններում պարզեցրեք յուրաքանչյուր արտահայտություն:

                        Գնահատեք փոփոխական արտահայտությունները ամբողջ թվերի հետ

                        Հաջորդ վարժություններում գնահատեք յուրաքանչյուր արտահայտություն:

                        Թարգմանեք անգլերեն դարձվածքները հանրահաշվական արտահայտություններին

                        Հաջորդ վարժություններում թարգմանեք հանրահաշվական արտահայտության և հնարավորության դեպքում պարզեցրեք:

                        10-ի և −18 −18-ի տարբերությունը

                        Inteրագրերում օգտագործեք ամբողջ թվեր

                        Հաջորդ վարժություններում լուծեք:

                        Ֆուտբոլ Առաջին վայրէջքում Լիցքավորիչները գնդակը ունեին իրենց 25 բակային գծի վրա: Նրանք կորցրեցին 6 յարդ առաջին վարից հետո, 10 յարդ շահեցին երկրորդ հետխաղային խաղում և կորցրեցին 8 յարդ երրորդ խաղից հետո: Ո՞րն էր բակի գիծը երրորդ ներքև խաղի վերջում:

                        Ֆուտբոլ Սկզբից իջնելիս, Steelers- ը գնդակն ունեցավ իրենց 30-յարդ գծի վրա: Նրանք շահեցին 9 յարդ առաջին հետխաղի խաղում, զիջեցին 14 բակեր երկրորդ հետխաղային խաղում և կորցրեցին 2 յարդ երրորդում խաղից հետո: Ո՞րն էր բակի գիծը երրորդ ներքև ներկայացման վերջում:

                        Հաշիվը ստուգող Մայրան իր հաշվին ունի 124 դոլար: Նա 152 դոլարի չեկ է գրում: Ո՞րն է նրա հաշվեկշռի նոր մնացորդը:

                        Հաշիվը ստուգող Սելինան իր հաշվին ունի $ 165: Նա 207 դոլարի չեկ է գրում: Ո՞րն է նրա հաշվեկշռի նոր մնացորդը:

                        Ամենօրյա մաթեմատիկա

                        Ֆոնդային շուկա Խավիերը մեկ ընկերության մեջ ունի 300 բաժնետոմս: Երեքշաբթի օրը բաժնետոմսի գինը նվազեց մեկ բաժնետոմսի համար $ 12: Ո՞րն էր ընդհանուր ազդեցությունը Խավիերի պորտֆելի վրա:

                        Կշռի կորուստ Դիետայի ծրագրի առաջին շաբաթվա ընթացքում ութ կին կորցրել է միջինը 3-ական ֆունտ: Ո՞րն էր ութ կանանց քաշի ընդհանուր փոփոխությունը:

                        Գրելու վարժություններ

                        Ձեր իսկ խոսքով ՝ նշեք ամբողջ թվերը բազմացնելու կանոնները:

                        Ձեր սեփական խոսքով ասեք ամբողջ թվեր բաժանելու կանոնները:

                        Ինքնաստուգում

                        The Վարժություններն ավարտելուց հետո օգտագործեք այս ստուգաթերթը `գնահատելու սույն բաժնի նպատակների ձեր տիրապետումը:

                        1 1–10 մասշտաբով ինչպե՞ս կգնահատեք այս հատվածի ձեր տիրապետումը ՝ հաշվի առնելով ստուգիչ ցուցակում ձեր պատասխանները: Ինչպե՞ս կարող եք դա բարելավել:

                        Որպես Amazon Associate, մենք վաստակում ենք որակյալ գնումներից:

                        Wantանկանու՞մ եք մեջբերել, կիսվել կամ փոփոխել այս գիրքը: Այս գիրքը Creative Commons Attribution լիցենզիա 4.0-ն է, և դուք պետք է վերագրեք OpenStax- ին:

                          Եթե ​​այս գրքի ամբողջ մասը կամ դրա մի մասը վերաբաշխում եք տպագիր ձևաչափով, ապա յուրաքանչյուր ֆիզիկական էջում պետք է ներառեք հետևյալ վերագրումը.

                        • Մեջբերում առաջացնելու համար օգտագործեք ստորև բերված տեղեկատվությունը: Խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեջբերման գործիք, ինչպիսին է այս մեկը:
                          • Հեղինակներ ՝ Լինն Մարեկեկ, Մերի, Էնթըն Էնթոնի-Սմիթ, Անդրեա Հոնիկութ Մաթիս
                          • Հրատարակիչ / կայք ՝ OpenStax
                          • Գրքի վերնագիր ՝ Տարրական հանրահաշիվ 2e
                          • Հրապարակման ամսաթիվը ՝ 22 ապրիլի, 2020 թ
                          • Որտեղից ՝ Հյուսթոն, Տեխաս
                          • Գրքի URL ՝ https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
                          • Բաժնի URL. Https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-4-multiply-and-divide-integers

                          © հունվարի 22, 2021 OpenStax. OpenStax- ի կողմից արտադրված դասագրքերի բովանդակությունը լիցենզավորված է Creative Commons Attribution License 4.0 լիցենզիայով: OpenStax անվանումը, OpenStax լոգոն, OpenStax գրքի շապիկները, OpenStax CNX անունը և OpenStax CNX լոգոն ենթակա չեն Creative Commons լիցենզիային և չեն կարող վերարտադրվել առանց Ռայսի համալսարանի նախնական և արտահայտված գրավոր համաձայնության:


                          Դասի սինթեզ

                          Դասի սինթեզ

                          Քննարկման նպատակն է ստուգել, ​​արդյոք ուսանողները հասկանում են, թե ինչու (10 ​​^ n boldcdot 10 ^ m = 10 ^) Մտածեք ուսանողների պատասխանները գրանցելու և ցուցադրելու համար, որպեսզի բոլորը տեսնեն:

                          Ահա քննարկման մի քանի հարցեր.

                          • «Ինչպե՞ս կարող էիք գրել (10 ​​^ <15> boldcdot 10 ^ <5> ) օգտագործելով մեկ ցուցիչ ՝ առանց բոլոր գործոնների ընդլայնման:» (Առաջին մասը 15 գործոն է, որը 10 է, իսկ երկրորդը ՝ 5 գործոն, որը 10 է:Սա կազմում է ընդհանուր առմամբ 20 գործոն, որոնք կազմում են 10):
                          • «Ընդհանրապես, ի՞նչ կանոն կա 10-ի երկու ուժը միասին 10-ի մեկ հզորության բազմապատկելու համար»: (10 ուժի երկու ուժի արտահայտիչները գումարվում են միասին):

                          Ամբողջ թվերի սահմանում

                          Ամբողջ թվեր բնական թվերն են, այս թվերի բացասական կողմերը կամ զրո: Ամբողջ թիվը լրիվ սուբյեկտ է: Ամբողջ թվերը այն թվերն են, որոնք կարող են լինել դրական, բացասական կամ զրո, թվեր ՝ առանց կոտորակային մասի (առանց տասնորդականների):

                          Ամբողջ թվերի օրինակներն են ՝ 1, -2, 7, -8, 9, -12 և այլն:

                          Բոլոր ամբողջ թվերի հավաքածուն ներկայացված է & ldquo խորհրդանիշովZ& rdquo

                          Եվս մի քանի օրինակ.
                          Եթե ​​ինչ-որ մեկը նորմայից ավելորդ քաշ ունի, ապա այն կներկայացվի որպես դրական, իսկ եթե ինչ-որ մեկը նորմայից պակաս քաշ ունի, ապա կներկայացվի որպես բացասական:

                          Օրինակ, (- 2 ) ամբողջ թիվ է:
                          (- 2 ) ընթերցվում է որպես & lsquonegative երկու & rsquo:
                          Սա կարող է գրվել նաև որպես (- 2 ) կամ ((-2) )
                          Դա 2-ից պակաս է 0-ից:
                          (0 – 2 = –2) .
                          Այսպիսով, բնական թվեր (որոնք ընկած են զրոյի աջ կողմում) են դրական, նրանց գործընկերները (բացասական բնական թվեր) են բացասական.

                          Թվերի տողը կարող ենք օգտագործել երկու ամբողջ թիվ համեմատելու համար:

                          Մենք ասում ենք, որ & ndash3- ը & lsquogreatreater է քան & rsquo & ndash6, քանի որ & ndash3 գտնվում է գծի երկայնքով & ndash6- ի աջ կողմում:
                          Նմանապես, & ndash5 & lsquois պակաս, քան & rsquo 2, քանի որ & ndash5 ընկած է 2-ի ձախ կողմում:

                          Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք, որ եթե համարը ընկած է ձախ կողմում, ապա այն ավելի փոքր կլինի, քան աջ կողմում գտնվող համարը:

                          Օրինակ. Հետևյալ ընտրանքներից ո՞ր մեկը ճիշտ չէ տրված թվային գծի նկատմամբ:

                          (ա) B- ն & ndash10-ից մեծ է
                          բ) A- ն 0-ից մեծ է
                          գ) A- ն B- ից մեծ է
                          դ) B- ն 0-ից մեծ է

                          Պատասխան. Առաջին երեք տարբերակները ճիշտ են, բայց B- ն ընկած է 0-ի ձախ կողմում, ուստի այն 0-ից մեծ չէ: Այսպիսով, հստակ տարբերակը (D) ճիշտ չէ:

                          Պատասխան. Թվային գծի վրա մենք տեսնում ենք, որ որքան մեծ է բացասական արժեքը, այնքան փոքր է թիվը: Օգտագործելով սա, մենք կարող ենք ասել, որ տարբերակը (C) ճիշտ է:

                          (C) & ndash79 & degC, & ndash70 & degC, & ndash58 & degC, & ndash53 & degC, & ndash52 & degC, & ndash40 & degC


                          Բաժանիր թվերը

                          Ասենք, որ ցանկանում եք պարզել, թե քանի մարդ է պահանջել նախագիծն ավարտելու համար (ծրագրի ընդհանուր ժամեր project նախագծի ընդհանուր մասնակիցներ) կամ իրական մղոն մեկ գալոնի համար ՝ ձեր վերջին խաչմերուկային ճանապարհորդության համար (ընդհանուր մղոն ÷ ընդհանուր գալոն): Թվերը բաժանելու մի քանի եղանակ կա:

                          Թվերը բաժանիր բջիջում

                          Այս խնդիրը կատարելու համար օգտագործեք / (առաջի կտրվածքով) թվաբանական օպերատոր:

                          Օրինակ, եթե մուտքագրում եք =10/5 բջիջում բջիջը ցուցադրվում է 2.

                          Կարևոր է Համոզվեք, որ մուտքագրեք հավասար նշան (=) բջիջում, նախքան համարները մուտքագրելը և / հակառակ դեպքում, Excel- ը կբացարկի այն, ինչ դուք մուտքագրում եք որպես ամսաթիվ: Օրինակ, եթե դուք մուտքագրում եք 7/30, Excel- ը կարող է ցուցադրել 30-Jul- ը բջիջում: Կամ, եթե դուք մուտքագրում եք 12/36, Excel- ը նախ այդ արժեքը կվերափոխի 12/1/1936-ի և բջջում կցուցադրի 1-Dec:

                          Նշում: Չկա ԲԱ DԱՆԵԼ գործառույթը Excel- ում:

                          Բաժանեք թվերը ՝ օգտագործելով բջիջների հղումները

                          Թվերը ուղղակիորեն բանաձևում մուտքագրելու փոխարեն, կարող եք օգտագործել բջջային հղումներ, ինչպիսիք են A2 և A3, թվերը վկայակոչելու համար, որոնց միջոցով ցանկանում եք բաժանել և բաժանել:

                          Օրինակը կարող է ավելի հեշտ ընկալվել, եթե այն պատճենեք դատարկ աշխատանքային թերթում:

                          Ինչպես պատճենել օրինակը

                          Ստեղծեք դատարկ աշխատանքային գրքույկ կամ աշխատանքային թերթ:

                          Ընտրեք օրինակը Օգնություն թեմայում:

                          Նշում: Մի ընտրեք շարքի կամ սյունակի վերնագրերը:

                          Օգնությունից օրինակ ընտրելը

                          Աշխատանքային թերթում ընտրեք A1 բջիջը և սեղմեք CTRL + V:

                          Արդյունքները դիտելու և արդյունքները վերադարձնող բանաձևերը դիտելու համար սեղմելու համար սեղմեք CTRL + »(գերբարձր շեշտադրություն) կամ Բանաձևեր էջանիշը, կտտացրեք Showուցադրել բանաձևերը կոճակ


                          NCERT լուծումներ 7-րդ դասի մաթեմատիկայի համար Գլուխ 1 - Ամբողջ թվեր

                          Հաջորդ համարային տողը ցույց է տալիս ջերմաստիճանը ըստ ցելսիուսի (& degC) աստիճանի `տարբեր օրվա որոշակի վայրերում:

                          ա) դիտեք այս համարային գիծը և գրեք դրա վրա նշված տեղերի ջերմաստիճանը:

                          բ) Ո՞րն է ջերմաստիճանի տարբերությունը վերը նշված ամենաթեժ և ամենացուրտ տեղերի միջև:

                          գ) Ո՞րն է Lahulspiti- ի և Srinagar- ի ջերմաստիճանի տարբերությունը:

                          դ) Կարո՞ղ ենք ասել, որ Srinagar- ի և Shimla- ի միասին վերցրած ջերմաստիճանը ավելի ցածր է, քան Shimla- ի ջերմաստիճանը: Արդյո՞ք դա ավելի քիչ է նաև Սրինագարի ջերմաստիճանից:

                          Պատասխան.

                          ա) Տրված տվյալները դիտարկելով ՝ այս քաղաքների ջերմաստիճանը հետևյալն է.

                          բ) peratերմաստիճանը ամենաթեժ տեղում, այսինքն ՝ Բանգալոր = 22 & degC

                          Estերմաստիճանը ամենացուրտ տեղում, այսինքն ՝ Lahulspiti = & minus8 & degC

                          Երմաստիճանի տարբերությունը = 22 & degC & minus (& minus8 & degC)

                          Հետևաբար, ջերմաստիճանի տարբերությունը ամենաթեժ և ամենացուրտ վայրերի միջև 30 ° C է:

                          (գ) ulերմաստիճանը Lahulspiti = & minus8 & degC

                          Rերմաստիճանը Սրինագարում = & minus2 & degC

                          Հետեւաբար, Lahulspiti- ի և Srinagar- ի ջերմաստիճանի տարբերությունը 6 & կարգ է:

                          (դ) rերմաստիճանը Սրինագարում = & մինուս 2 & degC

                          Imերմաստիճանը Shimla- ում = 5 & degC

                          Srinagar- ի և Shimla- ի ջերմաստիճանը միասին վերցրած = & minus2 & degC + 5 & degC

                          3 & degC & lt Shimla- ի ջերմաստիճանը

                          Այո, Սրինագարի և Շիմլայի միասին վերցրած ջերմաստիճանը պակաս է, քան Շիմլայի:

                          Հետևաբար, միասին վերցրած Սրինագարի և Շիմլայի ջերմաստիճանը պակաս չէ Սրինագարի ջերմաստիճանից:

                          Էջ No 4:

                          Հարց 2:

                          Վիկտորինայում դրական գնահատականներ են տրվում ճիշտ պատասխանների համար, իսկ բացասական գնահատականներ ՝ սխալ պատասխանների համար: Եթե ​​հինգ և հաջորդական փուլերում &եքի և rsquos- ի միավորները 25-ն էին, մինուս 5-ը, և մինուս 10-ը, 15-ը և 10-ը, ապա վերջում ո՞րն էր նրա ընդհանուր թիվը:

                          Պատասխան.

                          &Եքի և rsquos- ի հինգ հաջորդական փուլերում գրանցված միավորներն են 25, և մինուս 5, և մինուս 10, 15 և 10: Jackեքի ընդհանուր միավորը վերջում կլինի այս միավորների հանրագումարը:

                          Հետևաբար, Jack & rsquos- ի ընդհանուր միավորը վերջում = 25 & մինուս 5 & մինուս 10 + 15 + 10 = 35

                          Էջ No 4:

                          Հարց 3:

                          Srinagar ջերմաստիճանում երկուշաբթի օրը եղել է & մինուս 5 & degC, իսկ երեքշաբթի այն իջել է 2 & degC: Ինչպիսի՞ն էր Սրինագարի ջերմաստիճանը երեքշաբթի օրը: Չորեքշաբթի օրը այն բարձրացավ 4 & degC- ով: Ինչ ջերմաստիճան էր այս օրը:

                          Պատասխան.

                          Mondayերմաստիճանը երկուշաբթի = & minus5 & degC

                          Tuesdayերմաստիճանը երեքշաբթի = Temերմաստիճանը երկուշաբթի օրը & մինուս 2 & degC

                          Չորեքշաբթի ջերմաստիճանը = Tuesdayերմաստիճանը երեքշաբթի + 4 & degC

                          Հետեւաբար, երեքշաբթի և չորեքշաբթի ջերմաստիճանը համապատասխանաբար & minus7 & ordmC էր և / minus3 & ordmC:

                          Էջ No 4:

                          Հարց 4:

                          Ինքնաթիռը թռչում է ծովի մակարդակից 5000 մ բարձրության վրա: Հատուկ կետում այն ​​գտնվում է ծովի մակարդակից 1200 մ ցածր լողացող սուզանավի վերևում: Ո՞րն է նրանց միջեւ ուղղահայաց հեռավորությունը:

                          Պատասխան.

                          Սուզանավի խորությունը = & մինուս 1200 մ

                          Հեռավորությունը ինքնաթիռի և սուզանավի միջև = 5000 մ & մինուս (& մինուս 1200) մ

                          Տեսանյութի լուծում ամբողջ թվերի համար (էջ ՝ 4, Q. No.: 4)

                          NCERT լուծում 7-րդ դասի մաթեմատիկայի համար - ամբողջ թիվ 4, հարց 4

                          Էջ No 4:

                          Հարց 5:

                          Մոհանը իր բանկային հաշվին մուտքագրում է 2000 ռուբլի, իսկ հաջորդ օրը դրա միջից հանում է 1,642 ռուբլի: Եթե ​​հաշվից գումարի դուրսբերումը ներկայացված է բացասական ամբողջ թվով, ապա ինչպե՞ս եք ներկայացնելու ավանդադրված գումարը: Գտեք մնացորդը Mohan & rsquos հաշվում հանվելուց հետո:

                          Պատասխան.

                          Քանի որ հետ վերցված գումարը ներկայացված է բացասական ամբողջ թվով, ավանդադրված գումարը կներկայացվի դրական ամբողջ թվով:

                          Ավանդադրված գումարը = 2000 ռուբլի

                          Հետ վերցված գումարը = & հանած 1642 ռուբլի

                          Mohan & rsquos հաշվի մնացորդը = Ավանդագրված գումար + Հետ վերցված գումար

                          = 2000 + (& մինուս 1642) = 2000 & մինուս 1642 = 358

                          Հետևաբար, դուրս գալուց հետո Mohan & rsquos հաշվի մնացորդը 358 ռուբլի է:

                          Էջ No 4:

                          Հարց 6:

                          Ռիտան A կետից անցնում է 20 կմ դեպի արևելք A կետից B կետ, իսկ B ճանապարհից 30 կմ է շարժվում դեպի արևմուտք նույն ճանապարհով: Եթե ​​դեպի արևելք հեռավորությունը ներկայացված է դրական ամբողջ թվով, ապա ինչպե՞ս եք ներկայացնում դեպի արևմուտք անցած հեռավորությունը: Ո՞ր ամբողջ թվով եք ներկայացնելու նրա վերջնական դիրքը A- ից:

                          Պատասխան.

                          Քանի որ դեպի արևելք հեռավորությունը ներկայացված է դրական ամբողջ թվով, ապա դեպի արևմուտք անցած հեռավորությունը կներկայացվի բացասական ամբողջ թվով:

                          Արևելյան ուղղությամբ անցած հեռավորությունը = 20 կմ

                          Արևմտյան ուղղությամբ անցած հեռավորությունը = & մինուս 30 կմ

                          Անցած հեռավորությունը A = 20 + (& մինուս 30) = & մինուս 10 կմ-ից

                          Հետևաբար, մենք կներկայացնենք Ռիտայի կողմից A կետից անցած հեռավորությունը բացասական ամբողջ թվով, այսինքն ՝ & մինուս 10 կմ (այսինքն ՝ Ռիտան այժմ գտնվում է արևմուտքի ուղղությամբ):

                          Էջ No 5:

                          Հարց 7:

                          Կախարդական հրապարակում յուրաքանչյուր տող, սյուն և անկյունագիծ ունեն նույն գումարը: Ստուգեք, թե որից է կախարդական քառակուսին:

                          Պատասխան.

                          Կարելի է նկատել, որ (i) քառակուսիում յուրաքանչյուր տող և սյուն հավաքվում են 0. տալու 0. Սակայն դրա անկյունագծերից մեկի գումարը 0 չէ:

                          Հետեւաբար, (i) - ը կախարդական քառակուսի չէ:

                          Նմանապես, (ii) քառակուսիում յուրաքանչյուր տող, սյուն և անկյունագիծ գումարվում է և տալիս է & մինուս 9: Հետևաբար, (ii) կախարդական քառակուսի է:

                          Էջ No 5:

                          Հարց 8:

                          Հաստատել ա & մինուս (& մինուսբ) = ա + բ հետևյալ արժեքների համար ա և բ.

                          (ես) ա = 21, բ = 18

                          (ii) ա = 118, բ = 125

                          (iii) ա = 75, բ = 84

                          (iv) ա = 28, բ = 11

                          Պատասխան.

                          (ես) ա = 21, բ = 18

                          ա & մինուս (& մինուսբ) = 21 & մինուս (& մինուս 18) = 21 + 18 = 39

                          ա + բ = 21 + 18 = 39

                          & այնտեղ 4ա & մինուս (& մինուսբ) = ա + բ = 39

                          (ii) ա = 118, բ = 125

                          ա & մինուս (& մինուսբ) = 118 & մինուս (& մինուս 125) = 118 + 125 = 243

                          ա + բ = 118 + 125 = 243

                          & այնտեղ 4ա & մինուս (& մինուսբ) = ա + բ = 243

                          (iii) ա = 75, բ = 84

                          ա & մինուս (& մինուսբ) = 75 & մինուս (& մինուս 84) = 75 + 84 = 159

                          ա + բ = 75 + 84 = 159

                          & այնտեղ 4 ա & մինուս (& մինուսբ) = ա + բ = 159

                          (iv) ա = 28, բ = 11

                          ա & մինուս (& մինուսբ) = 28 & մինուս (& մինուս 11) = 28 + 11 = 39

                          ա + բ = 28 + 11 = 39

                          & այնտեղ 4 ա & մինուս (& մինուսբ) = ա + բ = 39

                          Էջ No 5:

                          Հարց 9:

                          Տողում օգտագործիր & gt, & lt or = նշանը ՝ պնդումները ճշմարիտ դարձնելու համար:

                          Պատասխան.

                          Էջ No 5:

                          Հարց 10:

                          Tankրի բաքը իր ներսում աստիճաններ ունի: Կապիկը նստած է ամենաբարձր աստիճանի վրա (այսինքն `առաջին աստիճանը): Levelրի մակարդակը իններորդ աստիճանին է:

                          (թ) Նա ցատկում է 3 քայլ ներքև, իսկ հետո հետ է ցատկում 2 քայլ վերև: Քանի՞ ցատկում նա կհասնի ջրի մակարդակին:

                          (ii) drinkingուր խմելուց հետո նա ուզում է վերադառնալ: Դրա համար նա ցատկում է 4 քայլ վերև, և հետ ցատկում 2 քայլ ներքև յուրաքանչյուր քայլում: Քանի՞ ցատկով է նա հասնելու վերին աստիճանին:

                          (iii) Եթե ներքև տեղափոխված քայլերի քանակը ներկայացված է բացասական ամբողջ թվերով, և դրական ամբողջ թվերով վեր բարձրացված քայլերի քանակը, ապա ներկայացրեք նրա քայլերը (i) և (ii) մասերում ՝ լրացնելով հետևյալ (ա) և մինուս 3 + 2 & մինուս & hellip = & մինուս 8 (բ) 4 & մինուս 2 + & hellip = 8. (ա) -ում գումարը (& մինուս 8) ներկայացնում է իջնել ութ աստիճանով: Այսպիսով, ի՞նչ է ներկայացնում (բ) –ում նշված 8 գումարը:

                          Պատասխան.

                          Թող ներքև տեղափոխված քայլերը ներկայացվեն դրական ամբողջ թվերով, իսկ վեր բարձրացված աստիճանները ՝ բացասական ամբողջ թվերով:

                          (թ) Սկզբնապես կապիկը գտնվում էր = 1 աստիճանի վրա

                          1-ին ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 1 + 3 = 4 քայլին

                          2-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 4 ​​+ (& մինուս 2) = 2 քայլին

                          3-րդ թռիչքից հետո կապիկը կլինի = 2 + 3 = 5 քայլին

                          4-րդ թռիչքից հետո կապիկը կգտնվի = 5 + (& մինուս 2) = 3 աստիճանի վրա

                          5-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 3 + 3 = 6 քայլին

                          6-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 6 + (& մինուս 2) = 4 քայլում

                          7-րդ ցատկից հետո կապիկը կլինի = 4 ​​+ 3 = 7 քայլին

                          8-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 7 + (& մինուս 2) = 5 քայլին

                          9-րդ ցատկից հետո կապիկը կլինի = 5 + 3 = 8 քայլին

                          10-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 8 + (& մինուս 2) = 6 քայլին

                          11-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 6 + 3 = 9 աստիճանի վրա

                          Ակնհայտ է, որ կապիկը 11 ցատկից հետո կլինի ջրի մակարդակի վրա (այսինքն ՝ 9-րդ աստիճան):

                          (ii) Սկզբում կապիկը գտնվում էր = 9-րդ քայլին

                          1-ին ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 9 + (& մինուս 4) = 5 քայլին

                          2-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 5 + 2 = 7 քայլին

                          3-րդ ցատկից հետո կապիկը կլինի = 7 + (& մինուս 4) = 3 քայլին

                          4-րդ թռիչքից հետո կապիկը կգտնվի = 3 + 2 = 5 քայլին

                          5-րդ ցատկից հետո կապիկը կգտնվի = 5 + (& մինուս 4) = 1 աստիճանի վրա

                          Ակնհայտ է, որ կապիկը 5 ցատկից հետո վերին աստիճանին կհասնի:

                          (iii) Եթե ներքև տեղափոխված քայլերը ներկայացված են բացասական ամբողջ թվերով, իսկ վեր բարձրացված քայլերը ՝ դրական ամբողջ թվերով, ապա նրա քայլերը կլինեն հետևյալը.


                          Թվերի ներկայացում և համեմատում (N)

                          Մաս A (դասեր 1–7)
                          Թեմաները ներառում են դրական ռացիոնալ թվերի (ամբողջ թվեր, կոտորակներ և տասնորդական թվեր) ներկայացում և համեմատում, դրական ամբողջ թվերի բազմապատկումների և գործոնների հայտնաբերում և զույգ դրական ամբողջ թվերի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի (LCM) և ամենամեծ ընդհանուր գործոնի (GCF) որոշում:

                          Մաս Բ (Դասեր 8–12)
                          Թեմաները ներառում են ներկայացնել բացասական կոտորակներ և բացասական տասնորդական թվեր, համեմատել ցանկացած երկու ռացիոնալ թվերի արժեքները, ցուցիչ նշումը և օգտագործել գործոնային ծառեր և հիմնական գործոններ ՝ գտնելու LCM կամ GCF մի զույգ դրական ամբողջ թվերի:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է թվերի երեք տարբեր համակարգեր ՝ ամբողջական թվեր, ամբողջ թվեր և ռացիոնալ թվեր: Կարևորվում են կապերը տարբեր թվային համակարգերի միջև ՝ հիմք ստեղծելու համեմատությունների և գործողությունների համար:

                          Խնդիրները լուծելու համար մաթեմատիկոսները հաճախ օգտագործում են համարների գիծը: Այս դասում մենք վերանայում ենք թվերի գիծը ՝ կենտրոնանալով կոտորակների գծագրման վրա:

                          Մաթեմատիկայի մեջ խորհրդանիշները կարևոր են հաղորդակցման համար: Այս դասում մենք վերանայում ենք «ավելի մեծ, քան» և «պակաս քան» խորհրդանիշները: Բացի այդ, մենք ներկայացնում ենք կոտորակների համեմատության համար օգտագործվող երկու տեխնիկա:

                          Ռացիոնալ թվերը կարող են գրվել որպես կոտորակներ կամ տասնորդականներ: Այս դասում մենք քննարկում ենք կոտորակային ներկայացումների և տասնորդական ներկայացուցչությունների կապերը, մասնավորապես, երբ խոսքը վերաբերում է թվերի գծի վրա թվեր գծագրելուն:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք, թե ինչպես ստեղծել ամբողջ թվերի բազմապատիկների ցուցակ: Օգտագործելով մեր ցուցակները `մենք նույնացնում ենք երկու ամբողջ թվերի ընդհանուր բազմապատկերը` հատուկ ուշադրություն դարձնելով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին (LCM):

                          Գործոնները, ինչպես բազմապատիկները, կապ ունեն բազմապատկման հետ: Այս դասում մենք լուծում ենք խնդիրները `որոշելով դրական ամբողջ թվերի գործոնները:

                          Ընդլայնելով գործոնների դասը ՝ մենք համեմատում ենք երկու դրական ամբողջ թվերի գործոնները ՝ հատուկ ընդհանուր գործոններ գտնելու համար, մեզ հաճախ հետաքրքրում է նույնականացնել ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCF): Մենք եզրակացնում ենք ՝ լուծելով բառային խնդիրներ, որոնք մեզնից պահանջում են գործոններ կիրառել տարբեր համատեքստերում:

                          Կոտորակային մեծությունները կարող են լինել դրական կամ բացասական: Բացասական ամբողջ թվերի նման, բացասական կոտորակները թվային գծի վրա գտնվում են զրոյի ձախ կողմում: Այս դասում մենք գծագրում ենք բացասական կոտորակները թվային գծի վրա, որոնք կօգնեն մեզ հասկանալ և համեմատել այդ թվերի արժեքները:

                          Ռացիոնալ թվերը կարող են գրվել որպես կոտորակներ կամ տասնորդականներ: Այս դասում մենք համեմատում ենք բացասական տասնորդական թվերը ՝ գծագրելով դրանք համարների գծի վրա: Դրանից հետո մենք համեմատում ենք բացասական կոտորակները բացասական տասնորդականների հետ: Որոշվում են ընդհանուր կոտորակների տասնորդական համարժեքները և ցուցադրվում են կոտորակը տասնորդի վերածելու ռազմավարությունները: Վերջապես, մենք սովորում ենք, թե ինչպես համեմատել ցանկացած երկու ռացիոնալ թվեր:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք ներկայացնել կրկնվող բազմապատկումը ՝ օգտագործելով էքսպոնենցիալ նշումը: Այնուհետև էքսպոնենտալ նշումը օգտագործվում է տասը ուժի օգտագործմամբ ամբողջ թվերը ընդլայնված տեսքով ներկայացնելու համար: Քառակուսի համարները և խորանարդի համարները ուսումնասիրվում են:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք պարզ և կազմված թվերը: Մենք սովորում ենք, թե ինչպես ներկայացնել կոմպոզիտային թիվը որպես դրա հիմնական գործոնների արդյունք `օգտագործելով գործոնի ծառ:

                          Պարզ ֆակտորիզացիաները կարող են օգտագործվել որոշ զույգ դրական ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր գործոնը (GCF) և նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) որոշելու համար: Մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է դա անել, և մենք օգտագործում ենք այս ռազմավարությունները բառային խնդիրներ լուծելու համար:

                          Գործառնություններ (N)

                          Մաս Ա (Դասեր 1–11)
                          Թեմաները ներառում են ռացիոնալ թվերի ավելացում և հանում, ամբողջ թվերի բազմապատկում և բաժանում դրական ռացիոնալ թվերի վրա և գործողությունների կարգի օգտագործմամբ արտահայտությունների գնահատում:

                          Մաս Բ (12–19 դասեր)
                          Թեմաները ներառում են ամբողջ թվերի, կոտորակների և տասնորդական թվերի բազմապատկում և բաժանում, դրական ամբողջ թվերի քառակուսի արմատների մոտավոր գնահատում և գործողությունների կարգը օգտագործող ցուցանմուշներ պարունակող արտահայտությունների գնահատում:

                          Մենք ավելացման մեր քննարկումը սկսում ենք ուսումնասիրելով, թե ինչպես կարելի է թվային տողերն օգտագործել ՝ գումարումը ցույց տալու համար: Այս դասում մենք կենտրոնանում ենք ամբողջ թվերի ավելացման վրա, մասնավորապես, թե ինչպես կարելի է դրական և բացասական թվեր ավելացնել թվային գծի միջոցով:

                          Մենք կարող ենք ավելացնել ամբողջ թվեր ՝ առանց հաշվիչ կամ թվային գիծ օգտագործելու: Այս դասում մենք ընդլայնում ենք մեր նախորդ քննարկումը ամբողջ թվերի գումարման վերաբերյալ և ուսումնասիրում ամբողջ թվերով հոգեբանորեն կատարելու ռազմավարությունները:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է համարժեք կոտորակները ՝ պատրաստվելով այն ժամանակ, երբ մենք պետք է կոտորակներ ավելացնենք և հանենք: Համարժեք կոտորակներ գտնելու գործընթացում ձեզ հնարավորություն կընձեռվի գործնականում գտնել ընդհանուր բազմապատկերներ, օգտագործել ոչ պատշաճ կոտորակներ և խառը թվեր, գծագրել գծերի գծի վրա և համեմատել ռացիոնալ թվերը:

                          Այս դասում մենք հիմնվում ենք ռացիոնալ թվեր ներառելու լրացման վերաբերյալ մեր ընկալման վրա: Դա անելու համար մենք կրկին այցելում ենք թվերի տողը և ներառում ենք ռացիոնալ թվեր գծագրելու մեր ռազմավարությունը, որպեսզի կարողանանք գտնել դրանց գումարը:

                          Այս դասը ներկայացնում է կոտորակների ավելացման ռազմավարություն ՝ առանց թվային տողի օգտագործման: Մենք օգտագործում ենք թվային տողերը որպես ընդհանուր հայտարար գտնելու դրդապատճառ, այնուհետև անցնում ենք կոտորակների ավելացմանը `առանց տեսողական օժանդակ միջոցների օգտագործման:

                          Մենք հանումի մեր քննարկումը սկսում ենք կենտրոնանալով ամբողջ թվերի վրա: Այս դասում մենք վերանայում ենք հանման գործողությունը, ցույց տալիս թվային գծի հանում և սովորում, թե ինչպես հանել ամբողջ թվերը ինչպես թվային գծի հետ, այնպես էլ առանց դրա:

                          Շարունակելով հանումի վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք կոտորակների հանման ռազմավարություն: Մեր նպատակն է օգտագործել համարժեք կոտորակներ ՝ հանման խնդիրներ լուծելու համար ՝ առանց հաշվիչի կամ թվային գծի օգտագործման:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է ամբողջ թվերը կոտորակների և տասնորդականների բազմապատկման ռազմավարությունները: Մենք լուծում ենք օրինակներ և առանձնացնում հաշվարկներ կատարելու կանոնները `առանց հաշվիչ օգտագործելու:

                          Բազմապատկումը գործողությունն է, որն օգտագործվում է մեծությունը մեծացնելու կամ չափափոխելու համար: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք մասշտաբի գործոնները և քննարկում, թե ինչու պետք է սկսենք մտածել մասշտաբի մասշտաբով բազմապատկման մասին:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք, թե ինչպես լուծել հաշվարկները, որոնք ներառում են ամբողջ թվերի բաժանումը կոտորակների և տասնորդականների վրա: Օրինակների միջոցով մենք կարևորում ենք այդ հաշվարկներն առանց հաշվիչի կատարման կանոնները:

                          Գործողությունների կարգը վերանայվում և օգտագործվում է ամբողջ թվերի, կոտորակների և տասնորդական թվերի մասնակցությամբ հաշվարկներ կատարելու համար: Բացի այդ, մենք ուսումնասիրում ենք փակագծերի կարևորությունը, երբ դրանք անհրաժեշտ են, և երբ դրանք կարող են հանվել արտահայտությունից: Մենք եզրակացնում ենք `օգտագործելով բաշխիչ հատկությունը` հաշվարկները պարզեցնելու համար:

                          Այս դասի ընթացքում մենք սովորում ենք, թե ինչպես մտավոր բազմապատկել ամբողջ թվերը: Մասնավորապես, մենք նայում ենք, թե ինչպես է ապրանքի յուրաքանչյուր ամբողջ թիվի նշանն ազդում արտադրանքի նշանի վրա:

                          Բաժանումը բազմապատկման հակառակ գործողությունն է, ուստի այն ամբողջ ռազմավարությունը, որը մենք սովորում ենք ամբողջ թվերի բաժանման համար, նման կլինի այն բոլորին, որոնք մենք օգտագործում ենք ամբողջ թվերը բազմացնելու ժամանակ: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես շահաբաժնի և բաժանարարի նշաններն ազդում են տոկոսի նշանի վրա:

                          Մենք սկսում ենք այս դասը ՝ վերանայելով, թե ինչպես կոտորակը բազմապատկել ամբողջ թվով: Դրանից հետո մենք ընդլայնում ենք մեր հասկացողությունը ՝ ներառելով ցանկացած երկու կոտորակի բազմապատկում: Լրացուցիչ, որոշակի ուշադրություն է դարձվում ապրանքների արժեքների գնահատմանը:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք, թե ինչպես կարելի է ամբողջ թիվը բաժանել կոտորակի: Դրանից հետո մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես հարմարեցնել այս ռազմավարությունը ՝ կոտորակը մեկ այլ կոտորակի վրա բաժանելու համար, առանց հաշվիչի օգտագործման:

                          Մենք սկսում ենք այս դասը ՝ ուսումնասիրելով տասնորդական թվերի բազմապատկումը տասի ուժերով, ներառյալ գիտական ​​նշագրման քննարկումը: Դրանից հետո մենք սովորում ենք, թե ինչպես բազմապատկել երկու տասնորդական թվեր ՝ նախ թվերը կոտորակների վերափոխելով, երկրորդը ՝ աշխատելով հենց տասնորդական թվերի հետ:

                          Այս դասում մենք մշակում ենք ռազմավարություն ՝ գնահատելու բաժանման արտահայտությունները, որոնք ներառում են ամբողջական թվեր և տասնորդական թվեր: Մենք նաև ընդլայնում ենք այս ռազմավարությունները ՝ երկու տասնորդ թվերով բաժանման քննարկման համար:

                          Այս դասը կենտրոնանում է մի շարք քառակուսի դարձնելու և համարի քառակուսի արմատ վերցնելու միջև հարաբերությունների վրա: Մենք քննարկում ենք կատարյալ քառակուսիները և ուսումնասիրում, թե ինչպես կարելի է մոտավորել դրական ամբողջ թվերի քառակուսի արմատը, որը կատարյալ քառակուսի չէ:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք թվաբանության գործողությունների կարգը: Մենք լուծում ենք ամբողջ թվերի, կոտորակների և տասնորդական թվերի հետ կապված խնդիրները ՝ հատուկ ուշադրություն դարձնելով ցուցիչներին:

                          Գործակիցները, դրույքաչափերը և համամասնությունները (N)

                          Մաս A (դասեր 1–5)
                          Թեմաները ներառում են գրելու և մեկնաբանելու գործակիցներ `գտնելով համարժեք գործակիցներ` կոտորակների, տասնորդականների և տոկոսների միջև փոխակերպելով չափման միավորների միջև և միավորների փոխարժեքների հետ կապված խնդիրներ լուծելով:

                          Մաս Բ (Դասեր 6–10)
                          Թեմաները ներառում են բառերի խնդիրներում համամասնական իրավիճակների ճանաչում, միավորներն իրար միացնող աղյուսակներ և գծապատկերներ, որոնք վերաբերում են համամասնական հարաբերություններին և դրանց ներկայացմանը աղյուսակներում, գծապատկերներում և հավասարումներում և 100 տոկոսից բարձր կոտորակային տոկոսներով և տոկոսներով:

                          Այս դասը քննարկում է հարաբերակցության նշանակությունը և անցնում, թե ինչպես գրել և մեկնաբանել գործակիցները: Մենք եզրակացնում ենք այն խնդիրների լուծմամբ, որոնք պահանջում են հարաբերակցություն կիրառել մեծ քանակությամբ:

                          Մենք սկսում ենք մեր քննարկումը համարժեք գործակիցների վերաբերյալ `օգտագործելով գծապատկերներ և ուսումնասիրելու, թե ինչպես երկու հարաբերակցություն կարող է ներկայացնել նույն հարաբերությունը երկու մեծությունների միջև: Դրանից հետո մենք մշակում ենք համարժեք գործակիցներ թվային առումով գտնելու ռազմավարություններ: Այս դասը եզրափակվում է հարաբերակցության խնդիրների լուծմամբ:

                          Այս դասում մենք սահմանում ենք տոկոս և ուսումնասիրում հարաբերությունները կոտորակների, տասնորդականների և տոկոսների միջև: Մենք եզրափակում ենք տոկոսների ներգրավմամբ որոշ բառային խնդիրներ լուծելով:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է երկարության, զանգվածի և հզորության տարբեր մետրային միավորների փոխակերպման ռազմավարությունները: Դրանից հետո մենք կիրառում ենք այս ռազմավարությունները ժամանակի միավորների և տարածքի միավորների միջև փոխակերպելու համար:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք այն տեմպերի մասին, որոնք երկու չափումների համեմատություն են տարբեր միավորների հետ: Մենք կենտրոնանում ենք այն բանի վրա, թե ինչպես գրել միավորի դրույքաչափերը և ինչպես միավորի դրույքաչափերը կարող են օգտագործվել բառային խնդիրները լուծելու համար: Ներառված են նաև մի քանի օրինակներ, թե ինչպես փոխարժեքը տարբեր միավորների վերածել:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք համաչափության հասկացությունը ՝ օգտագործելով օրինակներ, ինչպիսիք են պատկերի ընդլայնումը և ներկերի խառնումը: Մենք ուսումնասիրում ենք համաչափ հարաբերությունները երկու մեծությունների միջև և սովորում, թե ինչպես ճանաչել, երբ իրավիճակը համամասնական է և ոչ:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես ճանաչել համամասնորեն կապը երկու մեծությունների միջև, երբ տվյալները ցուցադրվում են աղյուսակում կամ գծապատկերում:

                          Համամասնական մեծությունների միջև կապը հաճախ տրվում է միավորի փոխարժեքի տեսքով: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես է այս միավորի փոխարժեքը արտահայտվում հավասարության, աղյուսակի կամ գրաֆիկի մեջ, որը ներկայացնում է երկու մեծությունների հարաբերությունը:

                          Այս դասում մենք քննարկում ենք 100 տոկոսից բարձր կոտորակային տոկոսներ և տոկոսներ: Որոշակի ուշադրություն է դարձվում այն ​​բանի, թե որտեղ են հայտնվում տոկոսները առօրյա կյանքում, և թե ինչպես գնահատումը կարող է օգտակար լինել տոկոսների հետ աշխատելիս:

                          Համամասնական իրավիճակները կարող են ներկայացվել բազմաթիվ ձևերով, այդ թվում `միավորի դրույքաչափեր, աղյուսակներ, գծապատկերներ կամ հավասարումներ: Այս դասում մենք սովորում ենք համեմատել համամասնական հարաբերությունները, որոնք ներկայացված են տարբեր ձևերով:

                          Կիսագրիչները և ձևերի հատկությունները (G)

                          Մաս A (դասեր 1–6)
                          Թեմաները ներառում են անկյունային կիսաչափերի և ուղղահայաց կիսաչափերի կառուցվածքներ և եռանկյունների, քառանկյունների և ավելի ընդհանուր բազմանկյունների տարբեր հատկություններ: Մասնավորապես, տարբեր բազմանկյունները դասակարգվում են `ելնելով դրանց կողմերի երկարություններից և անկյունների չափումներից:

                          Մաս Բ (Դասեր 7–10)
                          Թեմաները ներառում են քառանկյուն անկյունագծեր, շրջանակների տերմինաբանություն և կառուցվածք և իրական շրջանակների շրջանակների կիրառում:

                          Այս դասը ներկայացնում է հիմնական երկրաչափական օբյեկտների տերմինաբանությունն ու նշագրումը ՝ ուղղված գրավոր և բանավոր հաղորդակցությանը:

                          Մենք վերանայում ենք, թե ինչպես դասակարգել եռանկյունները ըստ կողմերի երկարությունների և անկյունների չափումների: Դրանից հետո մենք ուսումնասիրում ենք կողմնանկյան հարաբերությունները եռանկյուններում: Այս դասը եզրափակվում է եռանկյան հատկությունների կիրառմամբ ՝ կողմնացույցի միջոցով 60 աստիճանի անկյուն կառուցելու համար:

                          Կողմնացույցը և ուղղաձիգը կարող են օգտագործվել ՝ անկյունը կատարելապես կիսով չափ բաժանելու համար ՝ առանց երբևէ չափման: Այս դասում մենք կքննարկենք անկյան կիսաչափերի հատկությունները և ինչպես օգտագործել այդ հատկությունները տրված անկյան անկյունային կիսաչափ կառուցելու համար ՝ օգտագործելով միայն կողմնացույց և ուղիղ: Մենք մեր քննարկումը տարածում ենք եռանկյունների վրա և ուսումնասիրում երեք անկյունային կիսաչափերի փոխհարաբերությունները ցանկացած եռանկյան մեջ:

                          Շարունակելով կոնստրուկցիաների վերաբերյալ մեր քննարկումը, մենք նայում ենք ուղղահայաց կիսաչափերի հատկություններին և ինչպես օգտագործել այդ հատկությունները տվյալ գծի հատվածի ուղղահայաց կիսաչափ կիսակառույց կառուցելու համար ՝ օգտագործելով միայն կողմնացույց և ուղիղ: Մենք ընդլայնում ենք մեր քննարկումը եռանկյունիների վրա և ուսումնասիրում ցանկացած ուղղանկյուն կիսաչափերի հարաբերությունը ցանկացած եռանկյան մեջ:

                          Այս դասում մենք նայում ենք վեց հատուկ քառանկյան հատկությունների հատկություններին: Մենք ուսումնասիրում ենք յուրաքանչյուրի նմանություններն ու տարբերությունները և օգտագործում ենք դիագրամ ՝ մեր քննարկած բոլոր փոխհարաբերությունները ներկայացնելու համար:

                          Ընդարձակվելով քառանկյան վրա, այս դասում մենք կքննարկենք ընդհանուր բազմանկյունների հատկությունները: Մասնավորապես, մենք ուսումնասիրում ենք բազմանկյունի ներքին անկյունների հանրագումարը և այն, թե ինչպես են բազմանկյունները միացված պրիզմաներին: Այս դասը եզրափակում է ընդլայնումը, որն ուսումնասիրում է, թե ինչպես կարելի է պրիզմաները կտրել `տարբեր բազմանկյուն դեմքեր արտադրելու համար:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք անկյունագծերի տարբեր հատկությունները քառանկյուններում: Մասնավորապես, մենք հաշվի ենք առնում, երբ անկյունագծերը կիսվում են միմյանց, ուղղահայաց են միմյանց կամ հավասար երկարությամբ: Դրանից հետո մենք օգտագործում ենք այս հատկությունները, որպեսզի օգնենք մեզ դասակարգել քառակողմերը:

                          Այս դասը սկսվում է շրջանագծի նկարագրության քննարկմամբ: Քանի որ շրջանակները շատ տարբեր են պոլիգոններից, մենք ներմուծում ենք նոր տերմինաբանություն, որն օգտագործվում է շրջաններն ուսումնասիրելիս: Մասնավորապես, մենք սահմանում ենք շրջանի կենտրոնը, շառավիղը, տրամագիծը և շրջապատը: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես օգտագործել բազմանկյունները, որոնք կօգնեն մեզ գնահատել շրջապատը և շրջանը փակված տարածքը:

                          Այս դասում մենք քննարկում ենք ճշգրիտ շրջանակներ գծելու ռազմավարություն: Մասնավորապես, մենք նայում ենք նկարելու շրջանակներին, երբ նրանց տրվում է կենտրոն և շառավիղ, կենտրոն և կետ, որոնք պետք է ընկած լինեն շրջանագծի վրա, ինչպես նաև տրվում են երկու կամ ավելի միավորներ, որոնք բոլորը պետք է ընկած լինեն շրջանագծի վրա: Մենք քննարկում ենք, թե իրական աշխարհում որտեղ են հայտնվում ավելի մեծ շրջանակներ և ինչ գործիքներ և ռազմավարություններ կարող են օգտագործվել դրանց ստեղծման համար:

                          Այս դասում մենք վերցնում ենք անիվի սահմանից դուրս շրջանակների կիրառումը և քննարկում ենք շրջանների դերը շրջանցիկ նախագծման մեջ, շրջանների օգտագործումը կառույցների նախագծման մեջ և ինչպես են տարբեր տրամագծերի շրջանակները փոխազդում ատամնանիվներ օգտագործող մեքենաներում:

                          Տարածքը, ծավալը և անկյունները (Գ)

                          Մաս A (դասեր 1–5)
                          Թեմաները ներառում են զուգահեռագծերի, եռանկյունիների, trapezoids- ի և կոմպոզիտային ձևերի մակերեսի հաշվարկը `պրիզմաների մակերեսի, ծավալի և տարողունակության հաշվարկով և 3D առարկաների տարբեր ձևերով ներկայացում:

                          Մաս Բ (Դասեր 6–10)
                          Թեմաները ներառում են բալոնների ծավալը և մակերեսը հաշվարկող շրջանների շրջանի և մակերեսի հաշվարկը և անկյունների հատկությունները, որոնք կազմված են հատվող գծերի, ներառյալ զուգահեռ գծերի և լայնակների:

                          Այս դասը վերանայում է տարածքի սահմանումը և ինչպես հաշվարկել ուղղանկյան մակերեսը: Դրանից հետո մենք մշակում և կիրառում ենք զուգահեռագծերի, եռանկյունիների և trapezoids- ների տարածքները գտնելու բանաձևերը:

                          Շարունակելով տարածքի վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է քայքայվել և հաշվարկել կոմպոզիտային ձևերի մակերեսը:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք, թե ինչպես պատկերացնել 3D կոշտ մակերեսը մակերեսի միջոցով: Դրանից հետո մենք հաշվարկում ենք պրիզմաների մակերեսը և լուծում բառային խնդիրները, որոնք ներառում են մակերեսը:

                          Այս դասում մենք մշակում և կիրառում ենք պրիզմայի ծավալը գտնելու բանաձևը: Մենք կապում ենք ծավալը և հզորությունը և ուսումնասիրում, թե ինչպես փոխարկել ծավալի միավորների միջև:

                          Մենք ավարտում ենք պրիզմաների և կոմպոզիտային պինդ մարմինների վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ սովորելով, թե ինչպես դրանք նկարել եռանկյուն կետավոր թղթի վրա: Մենք նաև սովորում ենք, թե ինչպես ճանաչել և ուրվագծել 3D օբյեկտի տարբեր 2D տեսակետներ:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք շրջանակների շրջապատը և տարածքը: Դրանից հետո մենք մշակում և կիրառում ենք շրջանագծի շառավիղը (կամ տրամագիծը) տրված շրջանի և մակերեսի հաշվարկման բանաձևերը:

                          Մենք սկսում ենք բալոնների վերաբերյալ մեր քննարկումը `բալոնները պրիզմաների հետ համեմատելով: Մենք մշակում և կիրառում ենք գլանի ծավալը գտնելու բանաձևը և լուծում ենք գլանի ծավալը կամ հզորությունը ներառող բառային խնդիրներ:

                          Շարունակելով բալոնների վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք գլանի ցանցը և օգտագործում ենք ցանցը մխոցի մակերեսի բանաձևը մշակելու համար: Դրանից հետո մենք հաշվարկում ենք բալոնների մակերեսը և լուծում բառային խնդիրները, որոնք ներառում են մակերեսը:

                          Այս դասում մենք սկսում ենք հատման գծերի մեր քննարկումը `ուսումնասիրելով երկու հատվող գծերի կողմից կազմված անկյունների հատկությունները: Մենք սահմանում ենք լրացուցիչ, լրացնող և հակառակ անկյուններ և օգտագործում ենք անկյունային հարաբերություններ դիագրամում անհայտ անկյուններ գտնելու համար:

                          Շարունակելով հատման գծերի վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք զուգահեռ գծերի և լայնակների միջոցով ձևավորված անկյունները: Մենք սահմանում ենք համապատասխան, այլընտրանքային և միջսենյակային անկյուններ և օգտագործում ենք անկյունային հարաբերություններ դիագրամում անհայտ անկյունների լուծման համար:

                          Ձևերի վերափոխումներ (G)

                          Մաս A (դասեր 1–7)
                          Թեմաները ներառում են բազմանկյունների համընկնում, եռանկյունի կոնսերվենցիայի կանոններ, գծումներ գծեր են Դեկերտյան հարթության վրա, Կարդեզյան հարթության վրա բազմանկյան պատկեր է թարգմանությունների ներքո, արտացոլումներ և (կամ) Դեկերտյան հարթության վրա և տասելացիաներ:

                          Մաս Բ (Դասեր 8–11)
                          Թեմաները ներառում են բազմանկյունների նմանություն, եռանկյան նմանության կանոններ, բազմանկյունների լայնացում և անուղղակի չափումներ:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք համահունչության սահմանումը և համընկնում երկու համահունչ բազմանկյունների կողմերին ու անկյուններին: Մենք նաև հայացք ենք տալիս զուգահեռ բազմանկյունների պարագծին և տարածքին:

                          Շարունակելով մեր քննարկումները համահունչ լինելու վերաբերյալ ՝ այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք եռանկյունիների համար համապատասխանության կանոններ: Մեր նպատակն է ցույց տալ, որ երկու եռանկյունիները համահունչ են ՝ համապատասխանեցնելով ընդամենը երեք համապատասխան մասերի:

                          Այս դասը ներկայացնում է կարտեզյան հարթությունը: Մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կառուցել Դեկերտյան կոորդինատային համակարգը, ինչպես գծեր գծել Դեկերտյան հարթության վրա, ինչպես նաև ուսումնասիրել Դեկերտյան հարթության երկու կետերի ուղղահայաց / հորիզոնական հեռավորությունները:

                          Այս դասում մենք սկսում ենք վերափոխումների վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ ուսումնասիրելով բազմանկյունների թարգմանությունները: Մենք սովորում ենք, թե ինչպես թարգմանության տակ նկարել բազմանկյունի պատկեր և համապատասխանեցնել համահունչության սահմանումը թարգմանություններին:

                          Շարունակելով վերափոխումների վերաբերյալ մեր քննարկումը ՝ մենք այժմ ուսումնասիրում ենք բազմանկյունների արտացոլումները: Այս դասում մենք սովորում ենք, թե ինչպես գրաֆիկական բազմանկյունի պատկերը գծապատկերային հարթության արտացոլման տակ և բացատրել, թե ինչպես է պատկերը համահունչ սկզբնական բազմանկյունին:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք, թե ինչպես գրաֆիկացնել ռոտացիայի տակ գտնվող բազմանկյունի պատկերը: Մենք նաև համատեղում ենք բոլոր երեք փոխակերպումները և գծապատկերում բազմանկյան պատկերը, ըստ Կարտեզյան հարթության վրա թարգմանության, արտացոլման և պտտման:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է տաշման արվեստը: Մենք սահմանում ենք տոսելացիա և ուսումնասիրում, թե ինչ պոլիգոններ կարող են հարթեցնել հարթությունը: Հետո, օգտագործելով բազմանկյուններ, որոնք մենք գիտենք, թե ինչպես է հարթել հարթությունը, մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես ստեղծել հետաքրքիր նախագծեր, որոնք դասավորված են:

                          Երկրաչափության մեջ «նման» բառը օգտագործվում է նշելու համար, երբ երկու առարկա ունեն նույն ձևը, բայց պարտադիր չէ, որ նույն չափը ունենան: Այս դասում մենք սովորում ենք նման պոլիգոնների ճշգրիտ սահմանումը, ուսումնասիրում ենք մասշտաբի գործոնը երկու նման պոլիգոնների միջև և սովորում ենք, թե ինչպես սանդղակի գործոնը օգտագործել խնդիրները լուծելու համար:

                          Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի երեք անկյուն և երեք կողմ, բայց պարզվում է, որ մեզ հարկավոր չէ իմանալ յուրաքանչյուրի չափերը ՝ եռանկյան ձևը որոշելու համար: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք նվազագույն պայմանները, որոնք անհրաժեշտ են ստուգելու համար, որ երկու եռանկյունները նման են: Մենք սովորում ենք Անկյուն-Անկյուն, Կողքի-Կողքի-Կողքի և Կողքի-Անկյուն-Կողքի նմանության կանոնները և պրակտիկայով կառուցում ենք նմանատիպ եռանկյունիներ:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է նկարել նմանատիպ բազմանկյուններ ՝ առանց որևէ անկյուն չափելու: Դա կարելի է անել որոշակի տիպի փոխակերպման միջոցով `լայնացում:

                          Անուղղակի չափումները թույլ են տալիս մեզ գտնել անհայտ երկարություններ ՝ առանց իրականում գծերի հատվածների չափման: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես օգտագործել եռանկյունի նմանության կանոնները տարբեր սցենարներում անուղղակի չափումներ կատարելու համար:

                          Ներկայացնող նախշեր (A)

                          Մաս A (դասեր 1–6)
                          Թեմաները ներառում են հաջորդականությունների ներկայացում աղյուսակների, ընդհանուր տերմինների և գծապատկերների միջոցով, փոփոխականների և արտահայտությունների օգտագործմամբ օրինաչափությունների նկարագրություն, հաջորդականությունների ընդլայնում և անհայտ մեծությունների ներգրավմամբ խնդիրների լուծում:

                          Մաս Բ (Դասեր 7–11)
                          Թեմաները ներառում են հաջորդականության ընդհանուր տերմինի համարժեք արտահայտություններ, նկարագրում են հարաբերություններ և օրինաչափություններ ՝ օգտագործելով հավասարումներ, և նվազող և բնականաբար առաջացող հաջորդականություններ:

                          Մենք սկսում ենք ձևավորման մեր քննարկումը ՝ ուսումնասիրելով համարների և պատկերի հաջորդականությունները: Այս դասում մենք կենտրոնանում ենք այն օրինակի կանոնը նշելու վրա, որը նկարագրում է, թե ինչպես հաջորդ տերմինն առաջացնել հաջորդականությամբ:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է համարի տերմինի և տերմինային արժեքի փոխհարաբերությունները, այսինքն ՝ հաջորդականության եզրույթի և այդ հաջորդականության մեջ նրա դիրքի միջև եղած կապը: Դրանից հետո մենք օգտագործում ենք ընդհանուր տերմինը `տերմինի արժեքը հաջորդականությամբ գտնելու համար` հաշվի առնելով դրա տերմինի համարը:

                          Մենք շարունակում ենք գտնել հաջորդականությունների ընդհանուր տերմինը `շեշտը դնելով այն բանի վրա, թե ինչպես օգտագործել փոփոխականը` անհայտ մեծությունը ներկայացնելու համար: Այս դասը եզրափակվում է փոխարինման վերաբերյալ քննարկմամբ, որտեղ մենք գնահատում ենք արտահայտությունները ՝ ընդհանուր տերմինով համարը փոխարինելով փոփոխականին:

                          Այս դասում մենք հանդիպում ենք հաջորդականությունների, որոնք ունեն հարաբերությունների այլ տեսակ, քան այն, ինչ մենք նախկինում տեսել ենք: Դուք կշարունակեք գործնականում գտնել հաջորդականության ընդհանուր տերմինը ՝ դասը եզրափակելով կիրառական որոշ խնդիրներով:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես գրաֆիկորեն ներկայացնել հաջորդականությունը: Գրաֆիկի վրա ներկայացված հաջորդականությամբ մենք այնուհետև օգտագործում ենք գրաֆիկը `որոշելու համարի տերմինը, որը համապատասխանում է հաջորդականության տվյալ տերմինին: Վերջապես, դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել հաջորդականության ընդհանուր տերմինը `հաշվի առնելով դրա գրաֆիկը:

                          Այս դասում մենք կապում ենք մինչ այժմ ուսումնասիրած տարբեր հաջորդականությունները: Մենք շարունակում ենք օգտագործել աղյուսակները, գծապատկերները և ընդհանուր տերմինները ՝ ուսումնասիրելու համար այն օրինաչափությունները, որոնք ներկայացնում են հաջորդականությունները:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք, թե ինչպես ներկայացնել հաջորդականությունը `օգտագործելով աղյուսակ, ընդհանուր եզր կամ գրաֆիկ: Շեշտը դրվում է այն բանի վրա, որ որոշվի, թե այս երեք ներկայացուցչություններից որն է առավել նպատակահարմար որոշակի խնդրի լուծման իրավիճակում:

                          Այս դասում մենք վերլուծում ենք թվերի նույն հաջորդականությունը առաջացնող տարբեր օրինաչափություններ: Մենք առաջացնում ենք տարբեր արտահայտություններ ՝ օրինաչափության տարբեր մեկնաբանությունները ներկայացնելու համար և սովորում ենք, թե ինչպես կարելի է որոշել ՝ արդյոք երկու արտահայտությունները համարժեք են:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք արտահայտության և հավասարման տարբերությունը և ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես յուրաքանչյուրը կարող է օգտագործվել օրինաչափություններ նկարագրելիս: Մասնավորապես, մենք օգտագործում ենք արտահայտություններ հաջորդականության ընդհանուր տերմինի համար `հավասարումներ կազմելու համար` հաջորդականություններում հարաբերությունները ներկայացնելու համար:

                          Այս դասում մենք սահմանում և ուսումնասիրում ենք նվազող հաջորդականությունները: Դուք մարտահրավեր եք նետում հաշվի առնել, թե ինչպես կարող են օգտագործվել հաջորդականության ավելացման ընդհանուր տերմինները գտնելու ռազմավարությունները `նվազող հաջորդականությունը ներկայացնող հավասարում գրելու համար: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես են թվերի որոշ հաջորդականություններ, որոնք առաջանում են ֆիզիկական իրավիճակներից, չեն կարող հավերժ շարունակվել իրական կյանքի սահմանների պատճառով:

                          Այս դասում մենք նայում ենք այս բաժնում քննարկված տիպիկ հաջորդականություններին և ուսումնասիրում ենք ավելի բնական հաջորդականություններ: Օրինակները կենտրոնանում են հանրաճանաչ հանելուկների և իրական կյանքի աճի և մաշվածության սցենարների վրա: Մենք եզրափակում ենք, օրինակով քննարկելով, թե ինչպես են երբեմն ակնհայտ օրինաչափությունները խաբում:

                          Հավասարումներ և Պյութագորասի թեորեմ (Ա)

                          Մաս A (դասեր 1–5)
                          Թեմաները ներառում են արտահայտությունների և հավասարումների մեջ փոփոխականների օգտագործումը, գծային փոխհարաբերությունների նույնականացումն ու ուսումնասիրումը, և հավասարումների լուծումը ստուգման, փորձարկման և սխալի միջոցով և տեսողական մոդելների օգտագործումը:

                          Մաս Բ (Դասեր 6–10)
                          Թեմաները ներառում են հանրահաշվական տեխնիկայի միջոցով հավասարումների լուծում, արտահայտության գնահատման և հավասարման լուծման միջև տարբերությունների համեմատում, բազմաթիվ փոփոխականների հետ հավասարումների ուսումնասիրություն և Պյութագորասի թեորեմ:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք փոփոխականներն ու արտահայտությունները: Մենք քննարկում ենք հանրահաշվի գործողությունների ընդհանուր նշումը և վարժվում ենք անգլերեն դարձվածքները մաթեմատիկական արտահայտությունների թարգմանելուն:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք գծային հարաբերությունները երկու մեծությունների միջև: Մենք սովորում ենք, թե ինչպես որոշել գծային հարաբերությունը, որը ներկայացված է գրաֆիկում, արժեքների աղյուսակում կամ հավասարում:

                          Այս դասում մենք օգտագործում ենք արտահայտություններ և հավասարումներ ՝ իրական խնդիրները լուծելու համար:

                          Այս դասում մենք օգտագործում ենք գծապատկերներ և կշիռների տեսողական մոդել ՝ սանդղակի վրա, օգնելու համար լուծել հավասարումներ: Մենք նաև զբաղվում ենք պարզ հավասարումների լուծմամբ ՝ ստուգմամբ:

                          Այս դասում մենք զբաղվում ենք փորձերի և սխալի միջոցով հավասարումների լուծմամբ: Այս մեթոդները կիրառվում են բառերի խնդիրները լուծելու և կոտորակային լուծումներ ունեցող հավասարումներ լուծելու համար:

                          Այս դասում մենք պատկերացնում ենք հավասարումներ ՝ օգտագործելով կշիռներ և հավասարակշռված սանդղակ: Մենք լուծում ենք հավասարումները մեկ գործողությամբ `օգտագործելով հանրահաշվական տեխնիկան և սովորում, թե ինչպես ստուգել հավասարման լուծումը:

                          Մենք շարունակում ենք լուծումներ լուծել ՝ օգտագործելով հանրահաշիվ ՝ ընդլայնելով մեկից ավելի գործողություններով հավասարումներ լուծելու մեր ռազմավարությունը:

                          Այս դասը ուսումնասիրում է առաջ և հետևի շարժումը մաթեմատիկական մեքենայի միջոցով և կապեր է տալիս արտահայտությունը գնահատելու և հավասարություն լուծելու տարբերությունների հետ:

                          Այս դասում մենք գտնում ենք երկու կամ ավելի անհայտ մեծությունների հավասարումների լուծումներ `օգտագործելով փորձ և սխալ և հանրահաշիվ:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարությունների միջև կապը: Մենք կմշակենք Պյութագորասի թեորեմը և կօգտագործենք այն ուղղանկյուն եռանկյան բացակայող կողմի երկարության լուծման համար:

                          Տվյալների հավաքագրում և գծապատկերներ (Դ)

                          Մաս A (դասեր 1–5)
                          Թեմաները ներառում են տվյալների պոպուլյացիայի տարբեր տեսակներ, տվյալների հավաքագրման մեջ ընտրանքի և մարդահամարի շեղումներ, որոնք առաջանում են հարցի ձևակերպումից, ընդունված պատասխաններից և ընտրանքային խմբի հաճախականության և հարաբերական հաճախականության աղյուսակների ընտրությունից տվյալների ներկայացում, որոնք բխում են ընտրված գրաֆիկի տեսակից, գրաֆիկի կառուցվածքից և ձևից, առանցքի պիտակներից և կշեռքներից:

                          Մաս Բ (Դաս 6–9)
                          Թեմաները ներառում են ցողունային և տերևային գծագրերի և հաճախությունների աղյուսակների շարունակական տվյալների կազմակերպում ընդմիջումներով, ինչպես նաև հիստոգրամների ստեղծում և ընթերցում,

                          Այս դասում մենք քննարկում ենք տվյալների տարբեր տեսակներ, ներառյալ առաջնային, երկրորդային, կատեգորիկ և թվային տվյալները:Մենք քննարկում ենք բնակչություն, ընտրանք և մարդահամար տերմինները և սովորում տարբերությունը դիսկրետ և շարունակական թվային տվյալների:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարող են տվյալների վրա ազդել հարցման հարցերի ձևակերպումը, հարցման մեջ ընդունված պատասխանների տեսակները և այն ընտրանքային խումբը, որն օգտագործվում է հետազոտության մեջ ՝ բնակչությունը ներկայացնելու համար:

                          Այս դասում մենք սովորում ենք, թե ինչպես կարելի է տվյալները կազմակերպել հաճախությունների աղյուսակների մեջ, հաշվարկել հարաբերական հաճախականությունները և ստեղծել և համեմատել հաճախականությունների և հարաբերական հաճախականությունների գծապատկերներ:

                          Այս դասում մենք կենտրոնանում ենք կարդալու և ստեղծելու շրջանակային գծապատկերներ (կամ կարկանդակ գծապատկերներ): Մենք նաև քննարկում ենք գրաֆիկի համապատասխան տեսակները (շրջան, ձև կամ տող), որոնք կարող են օգտագործվել տարբեր տվյալների հավաքածուներ ցուցադրելու համար:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես գրաֆիկ ստեղծելիս կատարված ընտրությունները կարող են հանգեցնել հիմքում ընկած տվյալների խեղաթյուրման: Մասնավորապես, մենք քննարկում ենք, թե ինչպես գրաֆիկի տեսակը, գծապատկերի կառուցվածքն ու ձևը կամ գծապատկերի առանցքի պիտակներն ու մասշտաբները կարող են ապակողմնորոշել դիտողին:

                          Այս դասում մենք կենտրոնանում ենք տվյալների շարունակական հավաքածուների հետ աշխատելու վրա: Մենք ուսումնասիրում ենք անընդհատ տվյալների կազմակերպման և գծագրման տարբեր եղանակներ, ինչպես նաև քննարկում ենք զուգակցված տվյալների հավաքածուների ցուցադրություն:

                          Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք թվային տվյալների հավաքածուները ընդմիջումներով կազմակերպելու տարբեր եղանակներ: Մենք սկսում ենք տվյալների կազմակերպումը ցողունային և տերևային գծագրերի միջոցով և այնուհետև ուսումնասիրում, թե ինչպես կարելի է օգտագործել հաճախականության աղյուսակները, եթե տվյալները բաժանենք ընդմիջումների: Մենք քննարկում ենք այս կազմակերպության գործիքների առավելություններն ու թերությունները և պրակտիկայում ընտրում ենք տվյալ ժամանակահատվածների համար համապատասխան միջակայքեր:

                          Ստանդարտ գծապատկերային գծապատկերները միշտ չէ, որ համապատասխան ձև են տվյալ թվային տվյալների հավաքածուն ցուցադրելու համար: Հիստոգրամը նմանատիպ գրաֆիկի տեսակ է, որում թվային տվյալները նախ խմբավորվում են տիրույթների, ապա յուրաքանչյուր տիրույթի հաճախականությունը գծագրվում է ՝ օգտագործելով ձող: Այս դասում մենք քննարկում ենք հիստոգրամայի առանձնահատկությունները և գործնականում ստեղծում ենք թվագրական տվյալների հավաքածուներից հիստոգրամներ: Մենք քննարկում ենք, թե ինչ տեղեկատվություն կարող է ձեռք բերվել կամ կորել `հիստոգրամում տվյալներ ներկայացնելով, և ուսումնասիրում ենք գրաֆիկի ձևի վրա ընդմիջման ընտրության հետևանքները:

                          Scatրման գծապատկերը կետերից բաղկացած գրաֆիկ է, որոնք ձեւավորվում են երկու փոփոխական մեծությունների արժեքների օգտագործմամբ: Atրման գծագրերը օգտագործվում են ՝ քննարկվող երկու փոփոխականների միջև փոխհարաբերություն ցուցադրելու համար: Այս դասում մենք քննարկում ենք ցրման գծագրի առանձնահատկությունները և պրակտիկայում ստեղծում ենք ցրված գծագրեր զուգակցված տվյալների հավաքածուներից: Մենք քննարկում ենք այն դերը, որը երկու փոփոխականները խաղում են ցրման սյուժեի մեջ և ուսումնասիրում, թե ինչ տեղեկատվություն կարող է հայտնաբերվել, երբ մենք հաշվի ենք առնում տվյալների կետերի կողմից ընդհանուր առմամբ ձևավորված ձևը:

                          Տվյալների վերլուծություն (D)

                          Մաս A (դասեր 1–4)
                          Թեմաները ներառում են տվյալների հավաքածուի միջին, միջին և ռեժիմի որոշումը `ուսումնասիրելով տվյալների հավաքածուում տվյալների ավելացման հետևանքները կամ տվյալների հավաքածուից հանելը` ուսումնասիրելով արտաքինի ազդեցությունը միջին, միջին և ռեժիմի վրա, ինչպես նաև փորձել եզրակացություններ անել և կանխատեսումներ անել: գծապատկերներից ստացված տվյալներից:

                          Մաս Բ (Դասեր 5–8)
                          Թեմաները ներառում են տվյալների, հիստոգրամների և ցրման գծագրերի մեկնաբանություն և այս գծապատկերներից եզրակացությունների նկարագրություն, որոնք նկարագրում են երկու փոփոխականների միջև ցրված սյուժեի հարաբերությունները տվյալների կենտրոնների համեմատության կենտրոնական միտում:

                          Կարող է օգտակար լինել մեկ արժեքի օգտագործումը `տվյալների մեծ փաթեթում ամփոփելու համար: Կենտրոնական միտման միջոցները, ինչպես միջին, միջին և ռեժիմը, փորձում են ամփոփել տվյալները ՝ չափելով տվյալների հավաքածուի միջին (կամ կենտրոնը): Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես որոշել տարբեր տվյալների հավաքածուի միջին, միջինը և ռեժիմը և քննարկել, թե ինչպես դրանք կարող են օգտագործվել տվյալների վերլուծության համար:

                          Այս դասում մենք քննարկում ենք տվյալների հավաքածուն տվյալների ավելացման (կամ տվյալները դրանցից հեռացման) հետևանքները: Մենք կենտրոնանում ենք այն բանի վրա, թե ինչպես դա կարող է տարբեր ձևերով ազդել միջին, միջին և ռեժիմի վրա:

                          Որոշ տվյալների հավաքածուներ պարունակում են ծայրամասեր, որոնք տվյալներ են, որոնք առանձնացված են տվյալների հավաքածուի մնացած արժեքներից: Այս դասում մենք կքննարկենք կողմնակիցների ազդեցությունը տվյալների հավաքածուների միջին, միջին և ռեժիմի վրա և ուսումնասիրում ենք տարբեր ենթատեքստեր, որոնցում մեկ որոշակի չափում կարող է առավելագույնը համապատասխան լինել տվյալ տվյալների ամփոփման համար:

                          Այս դասում մենք զբաղվում ենք տարբեր գրաֆիկներում ցուցադրվող հիմքում ընկած տվյալների մեկնաբանմամբ: Մենք քննարկում ենք հայտարարությունների տարբերությունը գրաֆիկի մեջ պարունակվող տեղեկատվության և կանխատեսումների միջև, որոնք աջակցվում են գծապատկերի միտումներից, բայց հնարավոր չէ ստուգել միայն գրաֆիկի միջոցով:

                          Այս դասի ընթացքում մենք վարժվում ենք նույնականացնել և մեկնաբանել հիստոգրամում տրամադրված տեղեկատվությունը և հիստոգրամի աջակցությամբ եզրակացություններ անել: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես հիստոգրամայի միջակայքի չափը կարող է ազդել հիստոգրամայի մեջ տվյալները վերլուծող մեկի կողմից արված եզրակացությունների վրա:

                          Այս դասի ընթացքում մենք վարժվում ենք նույնականացնել և մեկնաբանել ցրման սյուժեի մեջ տրամադրված տեղեկատվությունը և եզրակացություններ անել ՝ ցրված սյուժեի աջակցությամբ: Մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է բացահայտել և նկարագրել ընդհանուր փոխհարաբերությունը, որը կարող է գոյություն ունենալ ցրման սյուժեի երկու փոփոխականների միջև:

                          Atրված գծերը հաճախ օգտագործվում են երկու փոփոխականների միջև կապը պարզելու և ուսումնասիրելու համար: Երբ ցրման գծի տվյալների կետերը կարծես թե մոտավորապես գնում են գծի ուղու վրա, մենք կարող ենք օգտագործել գծային օրինաչափությունների վերաբերյալ մեր գիտելիքները տվյալների ուսումնասիրման և կանխատեսումներ կատարելու համար: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք գծեր գծելով, որոնք մոտավոր են ցրման հողամասում նկատվող միտումը և գնահատում ցրման գծերի հետ կապված փոփոխության տեմպերը: Մենք համեմատում ենք տարբեր ցրման գծերի փոփոխության տեմպերը և օգտագործում դրանք կանխատեսումներ կատարելու համար:

                          Այս դասում մենք օգտագործում ենք կենտրոնական միտման միջոցներ `համեմատելու երկու տվյալների հավաքածուներ, եզրակացություններ անելու և քննարկելու գործոններ, որոնք կարող են ազդել, որ կենտրոնական միտման չափումը առավել նպատակահարմար է որոշակի համեմատության համար: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է համեմատել հիստոգրամներում ներկայացված տվյալները:

                          Հավանականություն (D)

                          Մաս A (դասեր 1–4)
                          Թեմաները ներառում են պատահական փորձեր, արդյունքներ և իրադարձություններ, որոնք հաշվարկում են միայնակ իրադարձությունների տեսական հավանականությունը `համեմատելով տարբեր իրադարձությունների անկախ իրադարձությունների հավանականությունը փորձարարական հավանականության հետ և օգտագործելով հավանականությունները կանխատեսումներ կատարելու համար:

                          Մաս Բ (Դասեր 5 և ndash8)
                          Թեմաները ներառում են տեսական հավանականությունների և փորձարարական հավանականությունների համեմատություն, որոնք ուսումնասիրում են, թե ինչպես է փորձարկումների քանակը ազդում հավանականության վրա, գնահատելով լրացուցիչ իրադարձությունները, որոնք կարգավորում և վարում են սիմուլյացիաներ ՝ օգտագործելով հավանականության մոդելներ և վերանայելով անկախ իրադարձությունները:

                          Պատահական փորձը փորձ է, որտեղ հնարավոր արդյունքների հավաքածուն հայտնի է, բայց իրական արդյունքը հնարավոր չէ կանխատեսել որոշակիորեն: Հավանականության տեսությունը պատահական փորձերի ուսումնասիրություն է, ներառյալ տարբեր արդյունքների կամ իրադարձությունների հավանականության չափման տարբեր եղանակներ: Այս դասում մենք վերանայում ենք հավանականության հասկացությունը և տարբեր փորձերի ժամանակ տարբեր իրադարձությունների տեսական հավանականությունները հաշվարկելու պրակտիկայով:

                          Հաճախ պատահական փորձերը ներառում են մեկից ավելի առարկաներ, օրինակ, փորձը կարող է ներառել արդար մետաղադրամի նետում և ստանդարտ մահվան գլորում: Այս դասում մենք ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել երկու անկախ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը, օրինակ `գլուխը նետելու և զույգ թիվը գլորելու հավանականությունը: Մենք սահմանում և բացահայտում ենք անկախ իրադարձությունները և օգտագործում ենք աղյուսակներ և ծառի գծապատկերներ `փորձի բոլոր արդյունքները սիստեմատիկորեն թվարկելու համար` տարբեր իրադարձությունների հավանականությունները հաշվարկելու համար:

                          Տեսական հավանականությունը հարաբերակցություն է, որը նկարագրում է այն, ինչ մենք ակնկալում ենք պատահել փորձի ժամանակ, իսկ փորձարարական հավանականությունը ՝ հարաբերակցություն, որը նկարագրում է, թե իրականում ինչ է տեղի ունեցել փորձի փորձերի ընթացքում: Այս դասում մենք հաշվարկում ենք տարբեր իրադարձությունների փորձարարական հավանականությունները և ուսումնասիրում, թե ինչպես են դրանք համեմատվում հայտնի տեսական հավանականությունների հետ: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք իրավիճակներ, երբ փորձերը հավանականությունների ուսումնասիրման մեր միակ տարբերակն է:

                          Եթե ​​դուք կարողանաք որոշել, որ որոշակի իրադարձություն տեղի կունենա փորձի ժամանակ, ապա այս տեղեկատվությունը կարող եք օգտագործել այս փորձի հետ կապված կանխատեսումներ անելու համար: Այս դասում մենք կանխատեսումներ կատարելու համար օգտագործում ենք տեսական և փորձարարական հավանականություններ: Մենք քննարկում ենք, թե որքանով կարող են հավաստի կամ անհուսալի մեր կանխատեսումները և ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարող ենք փորձեր մշակել այնպես, որ մեր կանխատեսումները հնարավորինս հուսալի դառնան:

                          Այս դասում մենք համեմատում ենք տեսական հավանականությունները փորձերի միջոցով հայտնաբերված հավանականության գնահատումների հետ և ուսումնասիրում, թե ինչպես փորձարկումում կատարված փորձերի քանակը կարող է ազդել հավանականության գնահատումների վրա:

                          Այս դասում մենք սահմանում և ուսումնասիրում ենք լրացնող իրադարձությունների հասկացությունը: Մենք սովորում ենք, թե ինչպես լրացնող իրադարձությունների նույնականացումը կարող է օգտակար լինել հավանականությունները հաշվարկելիս:

                          Հավանականությունների հետ կապված իրական իրական իրավիճակներից շատերի համար կարող է դժվար լինել իրական փորձեր իրականացնելով տվյալների հավաքագրումը: Այս իրավիճակներում մաթեմատիկոսները հաճախ իրականացնում են սիմուլյացիաներ, որոնք հավանականությունների տեսանկյունից նման են իրական իրավիճակին: Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես ընտրել համապատասխան մոդելներ սիմուլյացիայի համար և գործնականում վարել սիմուլյացիաներ ՝ հավանականության գնահատականներ ստանալու համար:

                          Այս դասում մենք վերանայում ենք, թե ինչպես կարելի է որոշել անկախ իրադարձությունների հավանականությունը `օգտագործելով ցուցակները, աղյուսակները և ծառի դիագրամները` բոլոր հնարավոր արդյունքները ցուցադրելու համար: Մենք նաև ուսումնասիրում ենք, թե ինչպես կարելի է հաշվել հնարավոր արդյունքների քանակը և բարենպաստ արդյունքները ՝ առանց դրանք հստակ գրելու: Այս հմտությունները կարող են օգտակար լինել չափազանց շատ արդյունքներ ունեցող փորձերի համար `արդյունավետ ցուցակագրելու համար:


                          Մաթեմատիկայի պրակտիկայի թեստ

                          Մաթեմատիկա առարկայից ձեր գիտելիքները ստուգելու համար օգտագործեք 15 կետից բաղկացած նախադրյալ: Գրանցեք ձեր նախնական փորձի միավորը և ապա ուսումնասիրեք ձեռնարկները, որոնք տրամադրվում են այս կայքում: Երբ զգում եք, որ պատրաստ եք կատարել ձեր TSI գնահատումը, պետք է ձեր թեստը նշանակեք Թեստավորման կենտրոնում:

                          Այս Պրեստեստի արդյունքները կարող են ընդհանուր պատկերացում կազմել ձեր տեղակայման իրական արդյունքների մասին: Այս թեստը միայն պրակտիկայի համար է, և արդյունքները չեն օգտագործվում փաստացի տեղադրման համար:

                          Յուրաքանչյուր կետի համար ընտրեք պատասխան: Եթե ​​չգիտեք պատասխանը, պետք է կրթված գուշակություն անեք: Թեստի ներքեւի մասում ձեզ կտրվեն ձեր արդյունքները:

                          1 - ին հարց

                          Քառակուսիի պարագիծը 20 ոտնաչափ է: Եթե քառակուսիի երկարությունը ավելացնեք 2 ոտնաչափով և լայնությունը 1 ոտնաչափով կրճատեք, ապա ո՞րն է նոր գործչի քառակուսի ֆուտով մակերեսը:

                          Հարց 2

                          Հարց 3

                          Հարց 4

                          Հաջորդ հավասարումներից ո՞րն ունի և՛ 2, և՛ -4 լուծումներ:

                          Հարց 5

                          Հարց 6

                          Xy- հարթությունում ո՞րն է հավասարության գրաֆիկի y- ընդհատումը:

                          Հարց 7

                          Փոփոխականները x և յ հակադարձ համամասնական են, և յ = 2 երբ x = 3. Ինչի՞ արժեքն է յ երբ x = 9?

                          Հարց 8

                          Ֆերմերն ունի 1235 ծառ, որոնք պետք է տնկվեն ուղղանկյուն հողամասում: Եթե ​​յուրաքանչյուր շարքում տնկված է 24 ծառ, և յուրաքանչյուր տող նախքան տնկելը պետք է ավարտված լինի, քանի՞ ծառ է մնացել տնկելուց հետո:

                          Հարց 9

                          100 հոգանոց մի խումբ, որոշ ուսանողներ և որոշ դասախոսներ, ներկա էին թանգարանի բացմանը: Յուրաքանչյուր ուսանող թանգարան մուտքի համար յուրաքանչյուր անձ վճարեց $ 10, իսկ մուտքի համար `ֆակուլտետից յուրաքանչյուրը $ 25: Եթե ​​վճարված ընդհանուր գումարը, 100 հոգու համար, $ 1300 էր, ապա քանի՞ ուսանող է ներկա գտնվել թանգարանի բացմանը:

                          Հարց 10

                          Սեմի տարիքի և Հենքի տարիքի հարաբերակցությունը 5-ից 3 է: Եթե նրանց տարիքի հանրագումարը 24 է, քանի՞ տարեկան է Հենքը:

                          Հարց 11

                          Գործոն բազմանդամը: Փնտրեք 36-ի գործոնները, որոնք ավելացնում են -13-ը:

                          36-ի գործոնները, որոնք ավելացնում են -13-ը, -4 և -9 են:

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Այս երկու գործոններն էլ քառակուսիների տարբերություններ են և հետագայում կարող են փաստարկվել:

                          x 4 - 13x 2 + 36 = (x 2 - 4) (x 2 - 9)

                          Հարց 12

                          Նետվում է վեցակողմ մահ, որի կողմերը համարակալված են 1,2, 3,4,5 և 6: Ո՞րն է երեքից պակաս թիվ նետելու հավանականությունը:

                          Հարց 13

                          Փափուկ գնդակը առաջին հարկի պատշգամբից վեր է նետվում օդ: Գնդակի հեռավորությունը գետնից վեր ցանկացած պահի տրվում է գործառույթով, որտեղ ժ ( տ ) փափուկ գնդակի բարձրությունն է գետնից վեր (ոտքերով) և տ ժամանակն է (վայրկյաններով): Ո՞րն էր փափուկ գնդակի առավելագույն բարձրությունը ոտքերով գետնից վեր նետվելուց հետո:

                          Հարց 14

                          Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս հինգ գրասենյակային ապրանքների խանութներից ստանդարտ կարիչ գնելու գինը ՝ A- ից E. Եթե այս խանութների համար ստանդարտ կարիչ գնելու միջին արժեքը $ 17,99 դոլար էր, ապա նշվածներից որևէ ՉԻ կարող լինել ստեպլերի արժեքը Խանութ պահե՞լ

                          Հարց 15

                          Ստորև ներկայացված xy- կոորդինատային հարթությունում ցույց տվեք կետը Պ ունի կոորդինատներ (8, -6): Ստորև ներկայացվածներից որն է կետեր պարունակող գծի հավասարություն Ո և Պ ?

                          ԿԱՐԵՎՈՐ.

                          Ձեր պատասխանները ստուգելուց հետո օգտագործեք ներքևի սանդղակը ՝ տեսնելու, թե որտեղ կարող եք տեղակայվել, երբ մտնում եք իրական ՀՏՍ գնահատումը մաթեմատիկայի համար: Սա ձեր ՀՍՏ գնահատման տեղադրման իրական միավորը չէ, Դա ստանալու համար դուք պետք է ինքնուրույն լրացնեք TSI գնահատումը ձեր մոտակա ACC թեստավորման կենտրոնում:

                          Եթե ​​ճիշտ եք ստացել հետևյալ քանակի հարցերը, ձեր տեղաբաշխման մակարդակը կարող է լինել.

                          • 0-4. Մեծահասակների հիմնական կրթության դասընթացներ
                          • 5-12` զարգացման դասընթացներ
                          • 13-15` քոլեջի մակարդակ

                          Եթե ​​կարծում եք, որ ավելի շատ նախապատրաստվելու կարիք ունեք նախքան իրական ՀՏՍ գնահատումը կատարելուց առաջ, լրացուցիչ տեղեկությունների և պրակտիկայի համար պետք է այցելեք կայքի «Մաթեմատիկայի վերանայում» բաժինը:

                          Եթե ​​ոչ, վերադառնաք ՀՏՄ պրակտիկայի թեստեր բաժին ՝ ձեր մյուս պահանջվող պրակտիկ թեստերը լրացնելու համար (անհրաժեշտության դեպքում) և լրացնելու ձեր ՀՍՍ նախա-գնահատման գործունեության (ՊՀA) ստուգման ձևը: Այս լրացված ձևը կամ էլփոստի հաստատումը ձեզ հարկավոր է `ՀՏՏ գնահատմանը մասնակցելու համար:


                          Դիտեք տեսանյութը: Ամբողջ բացասական թվեր. 6-րդ դասարան (Դեկտեմբեր 2021).