Հոդվածներ

11.2E. Վիզորներ տարածության մեջ վեկտորների համար


1) Դիտարկենք ուղղանկյուն տուփ, որի գագաթներից մեկը գտնվում է ծագման վայրում, ինչպես ցույց է տրված հետևյալ նկարում: Եթե ​​ (A (2,3,5) կետը ծագման հակառակ գագաթնակետն է, ապա գտիր

ա տուփի մյուս վեց գագաթների կոորդինատները և

բ տուփի անկյունագծի երկարությունը, որը որոշվում է (O ) և (A ) գագաթներով:

Պատասխան.
ա ((2,0,5), (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,3,5), (0,0,5) ) բ ( sqrt {38} )

2) Գտեք կետի (P ) կոորդինատները և որոշեք դրա հեռավորությունը ծագումից:

3-6 վարժությունների համար նկարագրիր և գծապատկերիր տրված հավասարումը բավարարող կետերի ամբողջությունը:

3) ((y − 5) (z − 6) = 0 )

Պատասխան.
Երկու ինքնաթիռների միություն. (Y = 5 ) (հարթություն զուգահեռ (xz ) - ինքնաթիռ) և (z = 6 ) (հարթություն զուգահեռ (xy ) - հարթությանը)

4) ((z − 2) (z − 5) = 0 )

5) ((y − 1) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 1 )

Պատասխան.
Շառավղի գլան (1 ) կենտրոնացած է գծի վրա (y = 1, z = 1 )

6) ((x − 2) ^ 2 + (z − 5) ^ 2 = 4 )

7) Գրիր ((1,1,1) կետով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը, որը զուգահեռ է (xy ) - հարթությանը:

Պատասխան.
(z = 1 )

8) Գրիր ((1, −3,2) կետով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը, որը զուգահեռ է (xz ) - հարթությանը:

9) Գտիր ((1, −3, −2), (0,3, −2), ) և ((1,0, −2) կետերով անցնող հարթության հավասարումը:

Պատասխան.
(z = −2 )

10) Գտիր ((1,9,2), (1,3,6), ) և ((1, −7,8) կետերով անցնող հարթության հավասարումը:

11-14 վարժությունների համար ստանդարտ տեսքով գտիր ոլորտի հավասարումը, որը բավարարում է տվյալ պայմանները:

11) Կենտրոն (C (−1,7,4) ) և շառավիղ (4 )

Պատասխան.
((x + 1) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 16 )

12) Կենտրոն (C (−4,7,2) ) և շառավիղ (6 )

13) տրամագիծը (PQ, ) որտեղ (P (−1,5,7) ) և (Q (−5,2,9) )

Պատասխան.
(x + 3) ^ 2 + (y − 3.5) ^ 2 + (z − 8) ^ 2 = dfrac {29} {4} )

14) տրամագիծը (PQ, ) որտեղ (P (−16, −3,9) ) և (Q (−2,3,5) )

15-րդ և 16-րդ վարժությունների համար գտիր գնդի կենտրոնը և շառավիղը տրված ընդհանուր տեսքով հավասարմամբ:

15) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−4z + 3 = 0 )

Պատասխան.
Կենտրոն (C (0,0,2) ) և շառավիղ (1 )

16) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−6x + 8y − 10z + 25 = 0 )

17-20 վարժությունների համար `արտահայտել վեկտորը ( vecd {PQ} ) սկզբնական կետով (P ) և վերջնական կետով (Q )

(ա. ) բաղադրիչի տեսքով և

(բ. ) ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորներ:

17) (P (3,0,2) ) և (Q (−1, −1,4) )

Պատասխան.
(a. vecd {PQ} = ⟨− 4, −1,2⟩ )
(բ. vecd {PQ} = - 4 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

18) (P (0,10,5) ) և (Q (1,1, −3) )

19) (P (−2,5, −8) ) և (M (1, −7,4) ), որտեղ (M ) գծի հատվածի միջին կետն է ( overline {PQ } )

Պատասխան.
(ա. vecd {PQ} = ⟨6, −24,24⟩ )
(բ. vecd {PQ} = 6 hat { mathbf i} 24 hat { mathbf j} +24 hat { mathbf k} )

20) (Q (0,7, −6) ) և (M (−1,3,2) ), որտեղ (M ) գծի հատվածի միջին կետն է ( overline {PQ} )

21) Գտեք վեկտորի (Q ) վերջնական կետը ( vecd {PQ} = ⟨7, −1,3⟩ ) նախնական կետը ՝ (P (−2,3,5): )

Պատասխան.
(Q (5,2,8) )

22) Գտեք վեկտորի (P ) սկզբնական կետը ( vecd {PQ} = ⟨,1 9,1,2⟩ ) վերջավորության կետով (Q (10,0, −1): )

23-26 վարժությունների համար օգտագործեք տրված վեկտորները ( vecs a ) և ( vecs b ) վեկտորները գտնելու և արտահայտելու համար ( vecs a + vecs b, , 4 vecs a ) և (- 5 vec a + 3 vecs b ) բաղադրիչի տեսքով:

23) ( quad vecs a = ⟨− 1, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −7⟩ )

Պատասխան.
( vecs a + vecs b = ⟨− 6,4, −3⟩, 4 vecs a = ⟨− 4, −8,16⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨, 10,28 , −41⟩ )

24) ( quad vecs a = ⟨3, −2,4⟩, quad vecs b = − − 5,6, −9⟩ )

25) ( quad vecs a = - hat { mathbf k}, quad vecs b = - hat { mathbf i} )

Պատասխան.
( vecs a + vecs b = ⟨− 1,0, −1⟩, 4 vecs a = ⟨0,0, −4⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 3,0, 5⟩ )

26) ( quad vecs a = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad vecs b = 2 hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

27-30 վարժությունների համար տրված են վեկտորներ ( vecs u ) և ( vecs v ): Գտեք վեկտորների ( vecs u− vecs v ) և (- 2 vecs u ) մեծությունները:

27) ( quad vecs u = 2 hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} +4 hat { mathbf k}, quad vecs v = - hat { mathbf i } +5 գլխարկ { mathbf j} - hat { mathbf k} )

Պատասխան.
( | vecs u− vecs v | = sqrt {38}, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {29} )

28) ( quad vecs u = hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, quad vecs v = hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

29) ( quad vecs u = ⟨2 cos t, 2 sin t, 3⟩, quad vecs v = ⟨0,0,3⟩, quad ) որտեղ (t ) իրական թիվ:

Պատասխան.
( | vecs u− vecs v | = 2, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {13} )

30) ( quad vecs u = ⟨0,1, sinh t⟩, quad vecs v = ⟨1,1,0⟩, quad ) որտեղ (t ) իրական թիվ է:

31-36 վարժությունների համար գտիր միավորի վեկտորը տրված վեկտորի ուղղությամբ ( vecs a ) և արտահայտիր այն ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորներ:

31) ( quad vecs a = 3 hat { mathbf i} 4 hat { mathbf j} )

Պատասխան.
( frac {3} {5} hat { mathbf i} - frac {4} {5} hat { mathbf j} )

32) ( quad vecs a = ⟨4, −3,6⟩ )

33) ( quad vecs a = vecd {PQ} ), որտեղ (P (−2,3,1) ) և (Q (0, −4,4) )

Պատասխան.
( frac { sqrt {62}} {31} hat { mathbf i} - frac {7 sqrt {62}} {62} hat { mathbf j} + frac {3 sqrt { 62}} {62} գլխարկ { mathbf k} )

34) ( quad vecs a = vecd {OP}, ) որտեղ (P (−1, −1,1) )

35) ( quad vecs a = vecs u− vecs v + vecs w, ) որտեղ ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad ) և ( vecs w = - hat { mathbf i} + hat { mathbf j} +3 hat { mathbf k} )

Պատասխան.
(- frac { sqrt {6}} {3} hat { mathbf i} + frac { sqrt {6}} {6} hat { mathbf j} + frac { sqrt {6 }} {6} hat { mathbf k} )

36) ( quad vecs a = 2 vecs u + vecs v− vecs w, quad ) որտեղ ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf j} quad ) և ( vecs w = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Որոշիր ՝ արդյոք ( vecd {AB} ) և ( vecd {PQ} ) համարժեք վեկտորներ են, որտեղ (A (1,1,1), , B (3,3,3), , P (1,4,5), ) և (Q (3,6,7): )

Պատասխան.
Համարժեք վեկտորներ

38) Որոշի՛ր արդյոք վեկտորները ( vecd {AB} ) և ( vecd {PQ} ) համարժեք են, որտեղ (A (1,4,1), , B (,22,2,0 ), , P (2,5,7), ) և (Q (−3,2,1) ):

39-42 վարժությունների համար գտեք տրված և բավարարող տվյալ պայմանները վեկտոր ( vecs ):

39) ( quad vecs v = ⟨7, −1,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 10 ), և ( vecs u ) և ( vecs v ) ունեն նույնը ուղղություն

Պատասխան.
( vecs u = ⟨ frac {70 sqrt {59}} {59}, - frac {10 sqrt {59}} {59}, frac {30 sqrt {59}} {59} )

40) ( quad vecs v = ⟨2,4,1⟩, , ‖ vecs u‖ = 15 ), և ( vecs u ) և ( vecs v ) ունեն նույն ուղղությունը

41) ( quad vecs v = ⟨2 sin t, , 2 cos t, 1⟩, ‖ vecs u‖ = 2, vecs u ) և ( vecs v ) ունեն հակառակ ուղղություններ ցանկացած (t ) - ի համար, որտեղ (t ) իրական թիվ է

Պատասխան.
( vecs u = ⟨− frac {4 sqrt {5}} {5} sin t, - frac {4 sqrt {5}} {5} cos t, - frac {2 sqrt {5}} {5}⟩ )

42) ( quad vecs v = ⟨3 sinh t, 0,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 5 ), և ( vecs u ) և ( vecs v ) ունեն ցանկացած (t ) - ի հակառակ ուղղությունները, որտեղ (t ) իրական թիվ է

43) Որոշիր (5 ) մեծության վեկտորը վեկտորի ( vecd {AB} ) ուղղությամբ, որտեղ (A (2,1,5) ) և (B (3,4, - 7): )

Պատասխան.
(⟨ Frac {5 sqrt {154}} {154}, frac {15 sqrt {154}} {154}, - frac {30 sqrt {154}} {77} )

44) Գտեք (2 ) մեծության վեկտոր, որը ցույց է տալիս հակառակ ուղղությամբ, քան վեկտորը ( vecd {AB} ), որտեղ (A ((1, −1,1) ) և (B ( 0,1,1): ) Պատասխանն արտահայտեք բաղադրիչի տեսքով:

45) Դիտարկենք (A (2, α, 0), , B (0,1, β), ) և (C (1,1, β) ) կետերը, որտեղ (α ) և (β ) բացասական իրական թվեր են: Գտեք (α ) և (β ) այնպես, որ ( | vecd {OA} - vecd {OB} + vecd {OC} | = | vecd {OB} | = 4: )

Պատասխան.
(α = - sqrt {7}, , β = - sqrt {15} )

46) Դիտարկենք (A (α, 0,0), , B (0, β, 0), ) և (C (α, β, β), ) կետերը, որտեղ (α ) և (β ) դրական իրական թվեր են: Գտեք (α ) և (β ) այնպես, որ ( | overline {OA} + overline {OB} | = sqrt {2} ) և ( | overline {OC} | = sqrt {3} ):

47) Եկեք (P (x, y, z) ) կետ լինի, որը գտնվում է կետերից հավասար հեռավորության վրա (A (1, −1,0) ) և (B (−1,2,1) ) Showույց տվեք, որ (P ) կետը գտնվում է հավասարման հարթության վրա (- 2x + 3y + z = 2: )

48) Եկեք (P (x, y, z) ) կետ լինի, որը գտնվում է սկզբից և կետից հավասար հեռավորության վրա (A (4,1,2) ): Showույց տվեք, որ P կետի կոորդինատները բավարարում են (8x + 2y + 4z = 21 հավասարումը)

49) (A, B, ) և (C ) կետերը գծային են (այս հերթականությամբ), եթե հարաբերությունը ({ | vecd {AB} | + | vecd {BC} | = | vecd {AC} |} ) բավարարված է: Ույց տվեք, որ (A (5,3, −1), , B (−5, −3,1), ) և (C (−15, −9,3) ) գծային կետեր են:

50) Showույց տուր, որ (A (1,0,1), , B (0,1,1), ) և (C (1,1,1) կետերը գծային չեն:

51) [T] ( vecs F ) - ի ուժը (50 , N ) գործում է մասնիկի վրա վեկտորի ուղղությամբ ( vecd {OP} ), որտեղ (P (3, 4,0): )

ա Արտահայտեք ուժը որպես վեկտոր ՝ բաղադրիչի տեսքով:

բ Գտեք ուժի ( vecs F ) և (x ) - առանցքի դրական ուղղության անկյունը: Պատասխանն արտահայտեք աստիճաններով կլորացված մինչև մոտակա ամբողջ թիվ:

Պատասխան.
(a. vecs F = ⟨30,40,0⟩; quad b. 53 ° )

52) [T] ( vecs F ) - ի ուժը (40 , N ) գործում է վանդակի ուղղությամբ վանդակի վրա ( vecd {OP} ), որտեղ (P (1, 0,2): )

ա Արտահայտեք ուժը որպես վեկտոր ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորներ:

բ Գտեք ուժի ( vecs F ) և (x ) - առանցքի դրական ուղղության անկյունը:

53) Եթե ( vecs F ) ուժ է, որը օբյեկտը տեղափոխում է (P_1 (x_1, y_1, z_1) ) կետից մեկ այլ կետ (P_2 (x_2, y_2, z_2) ), ապա տեղաշարժը վեկտորը սահմանվում է որպես (D = (x_2 − x_1) hat { mathbf i} + (y_2 − y_1) hat { mathbf j} + (z_2 − z_1) hat { mathbf k} ): Մետաղական կոնտեյները ուղղահայաց բարձրացվում է (10 ​​) մ կայուն ուժի կողմից ( վեկտորներ F ): Արտահայտեք տեղափոխման վեկտորը (D ) ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորներ:

Պատասխան.
( vecs D = 10 hat { mathbf k} )

54) Տուփը հորիզոնականորեն քաշվում է (4 ) yd (x ) - ուղղությամբ ՝ հաստատուն ուժի կողմից ( vecs F ): Գտեք տեղահանման վեկտորը բաղադրիչի տեսքով:

55) Օբյեկտի վրա գործող ուժերի հանրագումարը կոչվում է արդյունքի կամ ցանցի ուժ: Ասում են, որ օբյեկտը գտնվում է ստատիկ հավասարակշռության մեջ, եթե դրա վրա գործող ուժերի արդյունքային ուժը զրո է: Եկեք ( vecs F_1 = ⟨10,6,3⟩, vecs F_2 = ⟨0,4,9⟩ ) և ( vecs F_3 = ⟨10, −3, −9⟩ ) լինեն երեք ուժ գործող արկղի վրա: Գտեք տուփի վրա գործող ուժը ( vecs F_4 ) այնպես, որ տուփը գտնվում է ստատիկ հավասարակշռության մեջ: Պատասխանն արտահայտեք բաղադրիչի տեսքով:

Պատասխան.
( vecs F_4 = ⟨− 20, −7, −3⟩ )

56) [T] Թող ( vecs F_k = ⟨1, k, k ^ 2⟩, k = 1, ..., n ) լինեն (n ) մասնիկներ, որոնք գործում են մասնիկի վրա, (n≥ 2. )

ա Գտեք զուտ ուժը ( vecs F = sum_ {k = 1} ^ n vecs F_k. ) Պատասխանն արտահայտեք ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորները:

բ Օգտագործեք համակարգչային հանրահաշվային համակարգ (CAS) ՝ (n ) գտնելու համար այնպիսին, ինչպիսին ( | vecs F | <100. )

57) օբյեկտի վրա գործող ծանրության ( vecs F ) ուժը տրվում է ( vecs F = m vecs g ), որտեղ (m ) օբյեկտի զանգվածն է (արտահայտված կիլոգրամներով) իսկ ( vecs g ) ծանրության արդյունքում առաջացող արագացումն է, ( | vecs g | = 9,8 , N / կգ ): 2 կգ դիսկոտեկ գնդակը կախված է սենյակի առաստաղից շղթայից: ,

ա Գտեք ձգողության ուժը ( vecs F ), որը գործում է դիսկոտեկի գնդակի վրա և գտեք դրա մեծությունը:

բ Գտեք լարվածության ուժը ( vec T ) շղթայում և դրա մեծությունը:

Պատասխաններն արտահայտեք ՝ օգտագործելով ստանդարտ միավորի վեկտորները:

Պատասխան.
(ա. vecs F = −19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs F | = 19,6 , N )
(բ. vecs T = 19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs T | = 19,6 , N )

58) 5 կգ-անոց կախազարդը նախագծված է այնպես, որ ալաբաստրի ամանը բռնի հավասար երկարության չորս շղթաներով, ինչպես ցույց է տրված հետևյալ նկարում:

ա Գտեք ջահի վրա գործող ծանրության ուժի մեծությունը:

բ Գտեք լարվածության ուժերի մեծությունները չորս շղթաներից յուրաքանչյուրի համար (ենթադրենք, որ շղթաները ըստ էության ուղղահայաց են):

59) [T] 30 կգ ցեմենտի բլոկը կասեցվում է հավասար երկարության երեք մալուխներով, որոնք խարսխված են կետերում (P (−2,0,0), Q (1, sqrt {3}, 0) կետերում, ) և (R (1, - sqrt {3}, 0) ): Բեռը տեղակայված է (S (0,0, 2 sqrt {3}) ) վրա, ինչպես ցույց է տրված հետևյալ նկարում: Եկեք ( vecs F_1, vecs F_2 ) և ( vecs F_3 ) համապատասխանաբար մալուխներում (RS, QS, ) և (PS, ) բեռի արդյունքում առաջացող լարվածության ուժեր:

ա Գտեք ցեմենտի բլոկի վրա գործող ձգողական ուժը ( vecs F ), որը հակակշռում է մալուխների լարվածության ուժերի գումարին ( vecs F_1 + vecs F_2 + vecs F_3 ):

բ Գտեք ուժեր ( vecs F_1, vecs F_2, ) և ( vecs F_3 ): Պատասխանն արտահայտեք բաղադրիչի տեսքով:

Պատասխան.
ա ( vecs F = −294 hat { mathbf k} ) N;
բ ( vecs F_1 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, 49, −98⟩, vecs F_2 = frac {49 sqrt {3}} {3}, - 49 , −98⟩ ) և ( vecs F_3 = ⟨ frac {98 sqrt {3}} {3}, 0, −98⟩ ) (յուրաքանչյուր բաղադրիչ արտահայտված է նյուտոններով)

60) Երկու ֆուտբոլիստներ մարզվում են առաջիկա խաղի համար: Նրանցից մեկը վազում է 10 կետից A կետից B կետ: Նա այնուհետև թեքվում է ձախից (90 °) և վազում 10 մ, մինչև հասնում է C կետ: Այնուհետև գնդակը 10 մ / վրկ արագությամբ հարվածում է դեպի վեր: (45 ° ) անկյունը իր խաղընկերոջ նկատմամբ, որը գտնվում է Ա կետում: Գրիր գնդակի արագությունը բաղադրիչի տեսքով:

61) Եկեք ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t), , z (t)⟩ )) լինի տվյալ ժամանակի մասնիկի դիրքի վեկտորը (t∈ [0 , T] ), որտեղ (x, y, ) և (z ) սահուն գործառույթներ են ([0, T] ) վրա: Մասնիկի ակնթարթային արագությունը (t ) որոշվում է վեկտորով ( vecs v (t) = ⟨x '(t), , y' (t), , z '(t)⟩) ), համապատասխանաբար (x, y ) և (z ) գործառույթների ածանցյալները ՝ բաղադրիչների հետ, որոնք ածանցյալ են: Ակնթարթային արագության վեկտորի (∥ vecs v (t) ∥ ) մեծությունը կոչվում է մասնիկի արագություն ժամանակին (t ): Վեկտոր ( vecs a (t) = ⟨x '' (t), , y '' (t), , z '' (t)⟩ )) ՝ բաղադրիչներով, որոնք երկրորդ ածանցյալներն են (t ), համապատասխանաբար, (x, y, ) և (z ) գործառույթներից տալիս է մասնիկի արագացումը ժամանակին (t ): Հաշվի առեք ( vecs r (t) = ⟨ cos t, , sin t, , 2t⟩ ) մասնիկի դիրքի վեկտորը ժամանակին (t∈ [0,30], ), որտեղ բաղադրիչները ( vecs r ) արտահայտվում են սանտիմետրերով, իսկ ժամանակը ՝ վայրկյաններով:

ա Առաջին վայրկյանից հետո գտեք մասնիկի ակնթարթային արագությունը, արագությունը և արագացումը: Ձեր պատասխանը կլորացրու երկու տասնորդական վրա:

բ Օգտագործեք CAS ՝ մասնիկի ուղին պատկերացնելու համար. Այսինքն ՝ (( cos t, sin t, 2t), ) կոորդինատների բոլոր կետերի բազմությունը, որտեղ (t∈ [0,30]. )

Պատասխան.
(ա. vecs v (1) = ⟨84 0.84,0.54,2⟩ ) (յուրաքանչյուր բաղադրիչն արտահայտվում է վայրկյանում սանտիմետրերով); (∥ vecs v (1) ∥ = 2.24 ) (արտահայտված վայրկյանում սանտիմետրերով); ( vecs a (1) = ⟨− 0.54, −0.84,0⟩ ) (յուրաքանչյուր բաղադրիչն արտահայտված է սանտիմետրերով մեկ վայրկյանում քառակուսի);

(ծ. )

62) [T] Թող ( vecs r (t) = ⟨t, 2t ^ 2,4t ^ 2⟩ ) լինի մասնիկի դիրքի վեկտորը ժամանակին (t ) (վայրկյաններով), որտեղ ( t∈ [0,10] ) (այստեղ ( vecs r ) բաղադրիչներն արտահայտված են սանտիմետրերով):

ա Առաջին երկու վայրկյանից հետո գտեք մասնիկի ակնթարթային արագությունը, արագությունը և արագացումը: Օգտագործեք CAS ՝ պատկերացնելու համար այն մասնիկի ուղին, որը սահմանված է ((t, , 2t ^ 2, , 4t ^ 2), ) կետերով, որտեղ (t∈ [0, , 60]: )

Ներդրողներ

Gilիլբերտ Սթրանգը (MIT) և Էդվին «edեդ» Հերմանը (Հարվի Մուդ) ՝ շատ ներդրող հեղինակներով: OpenStax- ի այս բովանդակությունը լիցենզավորված է CC-BY-SA-NC 4.0 լիցենզիայով: Ներբեռնեք անվճար http://cnx.org կայքում:


Վեկտորները տարածության մեջ. Ինչպես գծապատկերել, կիրառական ծրագրեր, վարժություններ

Ա վեկտորը տարածության մեջ յուրաքանչյուրը ներկայացված է տրված կոորդինատային համակարգով x, Յ Յ զ, Գրեթե միշտ ինքնաթիռը xy հորիզոնական մակերեսի և առանցքի հարթությունն է զ ներկայացնում է բարձրությունը (կամ խորությունը):

Նկար 1-ում ներկայացված Կարտեզյան կոորդինատային առանցքները տարածությունը բաժանում են կոչված 8 շրջանների օկտանտներ, անալոգային ինչպես առանցքները xՅ ինքնաթիռը բաժանել 4 քառակուսի: Դրանից հետո մենք կունենանք 1-ին օկտանտ, 2-րդ օկտանտ և այլն:

Նկար 1-ը պարունակում է վեկտորի ներկայացում գ տարածության մեջ: Էկրանի հարթության վրա երեք չափումների պատրանք ստեղծելու համար անհրաժեշտ է որոշակի հեռանկար, որը ձեռք է բերվում թեք տեսք նկարելու միջոցով:

3D վեկտորը գծագրելու համար պետք է օգտագործել կետավոր գծերը, որոնք որոշում են ցանցի վրա պրոյեկցիայի կամ & quothadow & quot կոորդինատները: գ Մակերեսով x-y, Այս պրոյեկցիան սկսվում է O- ից և ավարտվում է կանաչ կետում:

Տեղ հասնելուն պես դուք պետք է ուղղահայացով շարունակեք անհրաժեշտ բարձրության (կամ խորության) չափը `ըստ արժեքի զ, մինչև հասնել P. Վեկտորը կազմվում է սկսած O- ից և ավարտվում P- ով, որը օրինակում գտնվում է 1-ին օկտանտի մեջ:


Ցանցը մատակարարեց եռաֆազ լարումը

Մատակարարված եռաֆազ լարումը նման կլինի ստորև նշված անիմացիային: Դա այն է, ինչ ապրում է ինդուկցիոն մեքենան, երբ միանում է անմիջապես ցանցին:

Երեք փուլային համակարգը նկարազարդվում է երկու տարբեր, բայց հավասար ձևերի միջոցով.

Վեկտորային դիագրամ, որը ցույց է տալիս բոլոր երեք փուլերը և դրանց վեկտորների գումարը (տիեզերական վեկտոր):

Սովորական ակնթարթային սինուս ալիքի ներկայացում, որը ցույց է տալիս նաև արդյունքի տարածական վեկտորը:

Սովորական երեք փուլային համակարգ, այստեղ ցուցադրվում է ինչպես վեկտորի, այնպես էլ սինուսոիդային տեսքով: Սև վեկտորը ստացված տարածական վեկտորն է `վեկտորի գումար, որը ստացվել է երեք վեկտորների ավելացման միջոցով: Ինչպես երեւում է, տիեզերական վեկտորի մեծությունը միշտ հաստատուն է:


Վեկտորների կառուցում

Երկու չափիչներով վեկտորներն ունեն V2 n- ի նման մի տեսակ, որտեղ n- ը սկալային արժեքների ինչ-որ թվային տեսակ է (հաճախ կրկնակի): (Այս ձեռնարկի մեջ կարելի է նաև աշխատել ցանկացած այլ չափիչներով վեկտորային տարածքների հետ, մենք հավատարիմ կմնանք 2D գործին):

Առաջին բանը, որ պետք է սովորել ՝ ինչպես անել ստեղծել V2 n տիպի արժեքները: Կան բազմաթիվ տարբերակներ.

զրոն զրոյական վեկտորն է, այսինքն ՝ վեկտորը զրոյական մեծությամբ (և առանց ուղղության, կամ գուցե յուրաքանչյուր ուղղություն): զրոն հազվադեպ է ինքնուրույն օգտակար, բայց կարող է օգտակար լինել օր. որպես վեկտորի ներդրում սպասող գործառույթի փաստարկ:

unitX- ը և unitY- ը համապատասխանաբար դրական (x) և (y) ուղղություններով մեկ երկարություն ունեցող վեկտորներն են: Երկարություն - (l ) վեկտոր ստեղծելու համար կարող եք կիրառել մասշտաբի մասեր x կամ unitY, օրինակ ՝ unitX # մասշտաբ 3 կամ 3 * ^ unitX (տես Վեկտորային գործողություններ):

Բացի այդ, unit_X- ը և unit_Y- ն նման են unitX- ի և unitY- ի, բայց ուղղվում են համապատասխան բացասական ուղղություններով:

Տրված (x ) - և (y ) - բաղադրիչներով վեկտոր ստեղծելու համար կարող եք օգտագործել r2 :: (n, n) -> V2 n գործառույթը.

Ինչպես տեսնում եք, r2- ը հատկապես օգտակար է, եթե դուք արդեն ունեք վեկտորային բաղադրիչներ ներկայացնող զույգեր (ինչը հազվադեպ չէ, եթե բաղադրիչները գալիս են տվյալների այլ աղբյուրից):

Կարող եք նաև օգտագործել տվյալների կոնստրուկտորը V2:

Կարող եք նաև օգտագործել (^ &) վեկտորային բառեր կառուցելու համար, ինչպես օրինակ ՝

Սա կարող է հարմար և հաճելի նշում կատարել: Այնուամենայնիվ, այն ունի որոշ թերություններ, մասնավորապես ՝

(^ &) չափազանց ընդհանուր է, ուստի դրա տեսակն օգտակար չէ:

Վերոնշյալի հետ կապված, 1 ^ & 2-ի պես բառացի վեկտորային արտահայտությունները պետք է օգտագործվեն այնպիսի համատեքստում, երբ տեսակը կարելի է եզրակացնել (այլապես պետք է ավելացնել տիպի ծանոթագրություն): Դա այն պատճառով է, որ (ինչպես կտեսնենք ավելի ուշ) (^ &) կարող է օգտագործվել նաև կետեր կառուցելու, ինչպես նաև ավելի բարձրաչափ վեկտորներ:

Միայն դուք կարող եք որոշել ՝ արժե՞ արդյոք փոխզիջումը տվյալ իրավիճակում:

Դուք կարող եք վեկտորներ կառուցել ուղղության s- ից `օգտագործելով fromDirection գործառույթը: fromDirection- ը ուղղություն է վերցնում և միավոր է կառուցում (այսինքն մեծությամբ 1) տրված ուղղությամբ մատնանշող վեկտորը:

Վեկտորների կառուցման վերջին միջոցներից մեկը `e գործառույթի օգտագործումն է: Ըստ սահմանման, e a == unitX # պտտվում է a, բայց երբեմն e կոչելը կարող է ավելի հարմար լինել: E անունը բառախաղի մի տեսակ է. Նույն կերպ, որ (r ) և անկյունով ( theta ) բարդ թվով կարելի է կառուցել որպես (r e ^), տրված մեծությամբ և ուղղությամբ վեկտորը կարող է կառուցվել որպես r * ^ e theta: (Նկատի ունեցեք, որ e- ը չի արտահանվում Diagrams- ից: Նախադրեք, եթե ցանկանում եք օգտագործել այն, ապա պետք է այն ներմուծեք Diagrams.TwoD.Vector- ից):

Կառուցեք հետևյալ պատկերներից յուրաքանչյուրը:

Շրջանակներն ունեն 1 շառավիղ, և դասավորված են շառավիղ -5 կիսաշրջանի տեսքով:

30, 1, 2 և 3 երկարություններով ճառագայթներ:


Վարժություն 3.12 Սպանող վեկտորների ածանցյալներ

Հարց

Պատասխանները

Վիլհելմ Կառլ Josephոզեֆ Սպանություն 1847-1923
Տեքստը տալիս է մի քանի հուշումներ այն մասին, թե ինչպես կարելի է (1) -ից (2) հասնել: Այն, ինչ մենք գիտենք Killing վեկտորների մասին, այն է, որ դրանք բավարարում են Killing- ի հավասարումը
սկսել
nabla _ <( mu> K _ < nu)> eku frac <1> <2> ձախ ( nabla_ mu K_ nu + nabla_ nu K_ mu աջ) = 0 & amp ուրվական <10000> (3) չհամարվող
Rightarrow nabla_ mu K_ nu = - nabla_ nu K_ mu & amp phantom <10000> (4) nonumber
վերջ## nabla_ mu K_ nu ## հակասիմետրիկ է:

(1) և (2) կետերում սպանող վեկտորները տրված են հակասական տեսքով:
Ռիմանի տենսորը հակասիմետրիկ է * իր վերջին երկու ցուցանիշներում (7) և ունի այլ հետաքրքիր համաչափություններ, որոնք ոչ բոլորն են անկախ, օրինակ. (6) գալիս է (7) և (8) ձևերով.
սկսել
& ampR _ < rho sigma mu nu> = g _ < tau rho> R _ < sigma nu mu> ^ tau & amp phantom <10000> (5) nonumber
տեքստ

Ինչպես ես իմացա շատ ջանքեր գործադրելուց հետո, կարևոր է նաև հիշել Ռիմանի տենսորի սահմանումը, երբ կապը շրջադարձային չէ: Այն չափում է տարբերությունը վեկտորի փոխադարձ ածանցյալներ վերցնելու միջև, որը անցնում է ճանապարհի երկու հակառակ ճանապարհով (Carroll 3.112)
սկսել
ձախ [ nabla_ rho, nabla_ sigma աջ] X ^ mu = R _ < nu sigma rho> ^ mu X ^ nu & amp phantom <10000> (16) non number
վերջԱյդ հավասարումը բավականին նման է (1) -ին, այնուհետև կա (4):

Երկրորդ մասը շատ պարզ է, եթե հիշում եք, որ եթե Սպանող վեկտորը գոյություն ունի, ապա միշտ հնարավոր է գտնել կոորդինատային համակարգ, որտեղ այն հիմքի վեկտորներից մեկն է, և մետրը անկախ կլինի այդ հիմքի վեկտորի կոորդինատից: Այս մասին Քերոլը հայտարարել է սպանության հավասարությունից հետո `իր 3.174 կետով:

Ես ի վիճակի չէի պատասխանել հարցերին, բայց առաջնորդվեցի այնպիսի լուծմամբ, որը ես պատահաբար գտա սեմալիստ գիտնականի կողմից `պրոֆեսոր Ալան Գութի կողմից:


11.2E. Վիզորներ տարածության մեջ վեկտորների համար

Տիեզերքում արագության և արագացման վեկտորների որոնում 11-20 վարժություններում r դիրքի վեկտորը նկարագրում է տարածության մեջ շարժվող ուղին կամ առարկան:

(ա) Տեսակի օբյեկտի արագության վեկտորը, արագությունը և արագացման վեկտորը:

բ) Գնահատել օբյեկտի արագության վեկտորը և արագության վեկտորը տրված արժեքով տ.

Դիրք վեկտորի ժամանակը

Տիեզերքում արագության և արագացման վեկտորների որոնում 11-20 վարժություններում r դիրքի վեկտորը նկարագրում է տարածության մեջ շարժվող ուղին կամ առարկան:

(ա) Տեսակի օբյեկտի արագության վեկտորը, արագությունը և արագացման վեկտորը:

բ) Գնահատել օբյեկտի արագության վեկտորը և արագության վեկտորը տրված արժեքով տ.

Դիրք վեկտորի ժամանակը

Տիեզերքում արագության և արագացման վեկտորների որոնում 11-20 վարժություններում r դիրքի վեկտորը նկարագրում է տարածության մեջ շարժվող ուղին կամ առարկան:

(ա) Տեսակի օբյեկտի արագության վեկտորը, արագությունը և արագացման վեկտորը:

բ) Գնահատել օբյեկտի արագության վեկտորը և արագության վեկտորը տրված արժեքով տ.


Խաչի արտադրանք

Խաչի արտադրանքը իմաստալից է միայն 3D վեկտորների համար: Որպես մուտք վերցնում է երկու 3D վեկտոր և որպես արդյունք վերադարձնում մեկ այլ 3D վեկտոր:

Արդյունքի վեկտորը ուղղահայաց է երկու մուտքային վեկտորներին: Մուտքային վեկտորների կարգավորումից ելքային վեկտորի ուղղությունը հիշելու համար կարող եք օգտագործել «ձախ ձեռքի կանոնը»: Եթե ​​առաջին պարամետրը համապատասխանեցվի մինչ ձեռքի բութ մատը, իսկ երկրորդը `ցուցամատը, ապա արդյունքը ցույց կտա միջին մատի ուղղությամբ: Եթե ​​պարամետրերի կարգը հակադարձվի, ապա ստացված վեկտորը կուղղվի ճիշտ հակառակ ուղղությամբ, բայց կունենա նույն մեծությունը:

Արդյունքի մեծությունը հավասար է մուտքային վեկտորների մեծություններին, որոնք բազմապատկվում են միասին, այնուհետև այդ արժեքը բազմապատկվում է նրանց միջեւ եղած անկյան սինուսով: Ստորև ներկայացված են սինուսի գործառույթի որոշ օգտակար արժեքներ. -

Խաչի արտադրանքը կարող է բարդ թվալ, քանի որ իր վերադարձի արժեքով միավորում է մի քանի օգտակար տեղեկատվություն: Այնուամենայնիվ, կետային արտադրանքի նման, այն շատ արդյունավետ է մաթեմատիկորեն և կարող է օգտագործվել կոդ օպտիմալացնելու համար, որը այլապես կախված կլիներ դանդաղ տրանսցենդենտալ գործառույթներից, ինչպիսիք են սինուսը և կոսինուսը:


5 պատասխան 5

Երկու հավաքածու կարող է ընդգրկել նույն ենթատարածքը, նույնիսկ եթե մեկը կախված է, իսկ մյուսը ՝ ոչ:

Նման խնդիրներ լուծելու համար կարող եք փորձել, օրինակ, տեսնել, արդյոք $ S_2 $ յուրաքանչյուր տարրը տարրերի գծային համադրություն է $ S_1 $ և փոխանակության տարրերից: Եթե ​​դրանք լինեն, հավաքածուները տարածվում են նույն տարածության վրա:

Միևնույն վեկտորի տարածքում վեկտորների երկու հավաքածու ՝ $ S_1 $ և $ S_2 $, տարածվում են նույն ենթատարածության վրա, եթե և միայն, եթե.

  • $ S_1 $ յուրաքանչյուր վեկտորը կարող է գրվել որպես վեկտորների գծային համադրություն $ S_2 $ և
  • Յուրաքանչյուր վեկտոր $ S_2 $ - ով կարող է գրվել որպես $ S_1 $ վեկտորների գծային համադրություն:

Կարող են լինել դրա ձևեր եզրակացնել այս հատկությունները ՝ առանց դրանք ուղղակիորեն ցույց տալու (ինչպես օրինակ ՝ user6312- ի չափման փաստարկներն է առաջարկում), բայց իրականում, ի վերջո, իջնում ​​է ցույց տալու այդ պահվածքը կամ այն, ինչը չի կարող պահպանել:

Նշենք, որ այս պայմանները չեն ներքինգրեթե համարյա երբեք չի հերիքում պարզապես նայել $ S_1 $ առանց մտածելու $ S_2 $, իսկ հետո նայելու $ S_2 $ առանց $ S_1 $ նայելու, դա միայն ծայրահեղ հանգամանքներում է, որ բավարարում է դա (երբ կարող ես ապացուցել, որ Տողերի «չափերը» չեն համընկնում, չափման փաստարկ), որ դա կարող է ապացուցել, որ բավարար է:

Այսպիսով, միայն պարզել, թե արդյոք հավաքածուները գծային կախվածություն ունեն կամ անկախ, այս դեպքում բավարար չէ:

Այսպիսով. $ (- 2, -6,0) $ և $ (1,1, -2) $ յուրաքանչյուր $ (1,2, -1) $ գծային համակցություններ, $ (0,1,1) $, և $ (2,5, -1) $? Այո. Կարող եք փորձել լուծել գծային հավասարումների երկու համակարգեր. $ Start alpha_1 ձախ ( սկսեք1 2 - 1 վերջ աջ) + beta_1 ձախ ( սկիզբ0 1 1 վերջ աջ) + gamma_1 ձախ ( սկիզբ2 5 - 1 վերջ աջ) & amp = ձախ ( սկիզբ-2 - 6 0 վերջ աջ) alpha_2 ձախ ( սկսեք1 2 - 1 վերջ աջ) + beta_2 ձախ ( սկիզբ0 1 1 վերջ աջ) + gamma_2 ձախ ( սկիզբ2 5 - 1 վերջ աջ) & amp = ձախ ( սկիզբ1 1 - 2 վերջ աջ) վերջ$ և տեսնել, արդյոք յուրաքանչյուրն ունի լուծումներ: (Դա կարող է կատարվել նույնիսկ երկուսն էլ միանգամից, $ ձախից տողի կրճատում կատարելով (սկսեք) 1 & amp 0 & amp 2 & amp 2 & amp -2 & amp 1 2 & amp 1 & amp 5 & amp 5 & amp -6 & amp 1 -1 & amp 1 & amp -1 & amp -1 & amp 0 & amp -2 վերջ$ եթե որևէ համակարգ լուծումներ չունի, ապա գիտեք, որ $ S_2 $ - ի յուրաքանչյուր վեկտորը $ S_1 $ - ի սահմաններում չէ, և դուք կավարտեք, եթե երկու համակարգերն էլ ունեն լուծումներ, ապա $ S_2 $ - ի յուրաքանչյուր վեկտորը գտնվում է $ S_1 $ - ի տևողությունը, ուստի $ mathrm(S_2) subseteq mathrm(S_1) $:

Ապա դուք պետք է տեսնեք, թե հակառակը ներառո՞ւմ է, արդյոք $ S_1 $ - ի յուրաքանչյուր վեկտորը վեկտորների գծային համադրություն է $ S_2 $ - ով: Այսինքն ՝ կարո՞ղ ենք լուծել գծային հավասարումների երեք համակարգերը: $ սկսեք rho_1 ձախ ( սկսեք-2 - 6 0 վերջ աջ) + sigma_1 ձախ ( սկիզբ1 1 - 2 վերջ աջ) & amp = ձախ ( սկիզբ1 2 - 1 վերջ աջ) rho_2 ձախ ( սկսեք-2 - 6 0 վերջ աջ) + sigma_2 ձախ ( սկիզբ1 1 - 2 վերջ աջ) & amp = ձախ ( սկիզբ0 1 1 վերջ աջ) rho_3 ձախ ( սկսեք-2 - 6 0 վերջ աջ) + sigma_3 ձախ ( սկիզբ1 1 - 2 վերջ աջ) & amp = ձախ ( սկիզբ2 5 - 1 վերջ աջ) վերջ$ Եթե մենք կարողանանք լուծել բոլորը, ապա $ S_1 $ յուրաքանչյուր վեկտորը գտնվում է $ S_2 $ միջակայքում, ուստի $ mathrm(S_1) subseteq mathrm(S_2) $ նախորդ ներառման հետ միասին, սա ցույց կտա, որ տևողությունները հավասար են: Եթե ​​որոշ հավասարություն հնարավոր չէ լուծել, ապա $ S_1 $ - ի յուրաքանչյուր վեկտոր չէ, որ ունի $ S_2 $ միջակայք, ուստի տողերը տարբեր են:

(Կա մի բան, որը կարող եք փրկել ձեր ջանքերից. Քանի որ ապացուցեցիք, որ $ S_1 $ բազմությունը գծային կախվածություն ունի, կարող եք դրանից դուրս բերել գծային անկախ հավաքածու (այս դեպքում, օրինակ, առաջին երկու վեկտորները), և $ S_1 $ -ը փոխարինեք երկու վեկտորների այդ հավաքածուով (քանի որ երրորդ վեկտորը առաջին երկուսի գծային համադրություն է): Դա կնշանակի ստուգել, ​​որ «$ S_1 $ -ի յուրաքանչյուր վեկտորը վեկտորների գծային համադրություն է $ S_2 $ -ում» և ստուգել, ​​որ «$ S_2 $ - ի յուրաքանչյուր վեկտորը վեկտորների գծային համադրություն է $ S_1 $» - ում ավելի պարզ կլինի. հինգ բան ստուգելու փոխարեն պետք է միայն ստուգել չորսը:)

Նմանատիպ խնդրի համար, կարծես, պարզ տողերի էշելոնի ձևը (rref) գտնելը բավականին պարզ մեթոդ է:

$ S_1 $ հավաքածուի համար դուք կազմում եք $ մատրիցը 1 & amp 2 & amp-1 0 & amp 1 & amp 1 2 & amp 5 & amp-1 վերջ sim սկսել 1 & amp 2 & amp-1 0 & amp 1 & amp 1 0 & amp 1 & amp 1 վերջ sim սկսել 1 & amp 2 & amp-1 0 & amp 1 & amp 1 0 & amp 0 & amp 0 վերջ sim սկսել 1 & amp 0 & amp-3 0 & amp 1 & amp 1 0 & amp 0 & amp 0 վերջ $ $ S_2 $ հավաքածուի համար դուք կազմում եք $ մատրիցը -2 & amp-6 & amp 0 1 & amp 1 & amp-2 վերջ sim սկսել 1 & amp 3 & amp 0 1 & amp 1 & amp-2 վերջ sim սկսել 1 & amp 3 & amp 0 0 & amp-2 & amp-2 վերջ sim սկսել 1 & AMP 3 & AM 0 0 & AMP 1 & AMP 1 վերջ sim սկսել 1 & AMP 0 & AMP-3 0 & AMP 1 & AMP 1 վերջ $

Քանի որ մենք գիտենք, որ տողի տարրական գործողությունները չեն փոխում տողի տարածությունը, մենք տեսնում ենք, որ $ newcommand < span> < operatorname> span (S_1) = span <(1,0, -3), (0,1,1) > = span (S_2). $

Այս մեթոդներն ընդհանուր առմամբ գործում են: Եթե ​​rref- ների ոչ զրոյական տողերը տարբեր են, դա նշանակում է $ span (S_1) ne span (S_2) $:

Դա ավելի հստակ ձևակերպելու համար մենք գիտենք, որ.

  • $ A $ և $ B $ մատրիցները համարժեք են տողին:
  • $ A $ և $ B $ մատրիցներն ունեն տողի նույն տարածությունը:
  • $ A $ և $ B $ մատրիցներն ունեն նույն նվազեցված շարքի էշելոնի ձևը:

Ձեր ռազմավարության սկիզբը շատ ողջամիտ էր: Եթե պարզվել էր, որ $ S_1 $ հավաքածուն գծայինորեն անկախ էր, այդ դեպքում դուք կիմանայիք, որ $ S_1 $ տարածքի տարածքն ունի $ 3 $, այսինքն ՝ ամբողջ տարածքն է: $ S_2 $ - ի տարածքը պետք է ունենա $ le 2 $, իրականում $ 2 $: Այնպես որ, եթե պարզվեր, որ $ S_1 $ -ը գծային անկախ հավաքածու է, ապա կարող էիք ունենալ անմիջապես եզրակացրեց, որ ընդգրկված ենթատարածությունները տարբեր են, քանի որ դրանք ունենալու էին տարբեր չափսեր:

Unfortunatelyավոք, պարզվեց, որ $ S_1 $ հավաքածուն գծային կախվածություն ունի, ուստի պարզ չափման փաստարկը չի լուծի խնդիրը:

Բայց այժմ հեշտ է տեսնել, որ երկու տարածություններն էլ $ 2 $ -աչափ են, դրանք ինքնաթիռներ են ծագման միջոցով: Եթե ​​կարողանաք ցույց տալ, որ $ S_2 $ - ի երկու վեկտորները յուրաքանչյուրը $ S_1 $ - ի սահմաններում են, դա կնշանակի, որ երկու տարածությունները նույնն են: Եթե ​​կարողանաք ցույց տալ, որ $ S_2 $ - ի վեկտորներից գոնե մեկը $ S_1 $ չէ, կիմանաք, որ տարածությունները նույնը չեն:

Սա ստուգելը պարզապես որոշ գծային հավասարումներ նայելու խնդիր է, բայց միգուցե կարողանաք աչքի գնդակի բաներ տեսնել: Օրինակ, $ S_2 $ - ի երկրորդ վեկտորը $ S_1 $- ի առաջին երկու վեկտորների տարբերությունն է: Իսկ $ S_2 $ -ի առաջին վեկտորը (բացի մասշտաբից) առաջին երկու վեկտորների գումարն է $ S_1 $: Այսպիսով, տարածությունները նույնն են:

Քանի որ մենք գտնվում ենք $ 3-ի տարածության մեջ, դուք կարող եք հերթափոխով, հաշվարկելով խաչմերուկները, ցույց տալ, որ երկու ինքնաթիռները ուղղահայաց են միևնույն գծի, և, քանի որ երկուսն էլ անցնում են սկզբունքի միջով, դրանք նույն հարթությունն են:

Այս տեսակ հարցին մոտենալու բազմաթիվ եղանակներ կան ՝ հիմնված այն բանի վրա, թե որքանով է կախված մեխանիկական մոտեցումներից ընդդեմ ինտուիտիվ մոտեցումների:

Այս հարցին մոտենալու թերևս ամենա մեխանիկական ձևը ՝ այս բառի բուն իմաստով Գրեմ-Շմիդտին մահվան հասցնելն է (քանի որ դա հեռացնում է ավելորդ վեկտորները, այսինքն գծային կախված վեկտորները, այսինքն վեկտորները, որոնք արդեն տարածված են արդեն դիտարկված վեկտորներում): Օրինակ ՝ մեկը առաջին վեկտորների վրա G-S կատարելուց հետո մեզ մնում է միայն 2 հիմքային վեկտոր (երրորդը ջնջվում է): Շարունակելով դա ՝ մենք ոչնչացնում ենք վեկտորների երկրորդ շարքը այս երկու հիմքային վեկտորներով: (Մենք նշում ենք, որ վեկտորների երկրորդ շարքը, որոնք առանձին են դիտարկվում, գծայինորեն անկախ են, և նաև տարածվում են 2 չափի տարածության վրա):

Բայց ի՞նչ է սա իրագործվում: Դա պարզապես յուրաքանչյուր վեկտորը մյուս վեկտորների տեսանկյունից հստակ գրելու մեխանիկական եղանակ է: Այսպիսով, մենք բառացիորեն ցույց ենք տալիս, որ մի հիմքում գրված ցանկացած բան կարող է գրվել մյուսի մեջ: Դա այնքան էլ հուզիչ չէ:

Ենթադրենք, որ մենք ուզում էինք դա անել այլ կերպ. Մենք արագորեն կարող ենք տեսնել, որ առաջին հավաքածուի տարածության տարածության չափը 2 է, իսկ երկրորդի կողմից տարածության տարածության չափը 2 է: Դրանք այսպես կոչված գծային տարածություններ են, որը հարմար. Սա նշանակում է, որ եթե մենք գտնենք երկու գծային անկախ վեկտոր, որոնք պարունակվում են երկու տարածություններում էլ, դրանք նույնն են: Չնայած մի առումով, մենք կարող էինք պարզապես ընտրել երկու առաջին վեկտորները և տեսնել, թե արդյոք դրանք երկրորդ տարածության մեջ են, սա նաև նշանակում է, որ մենք կարող ենք ընտրել նաև առաջին երկու վեկտորների ցանկացած գծային համադրություն: Այսպիսով, դա մի փոքր ավելի ընդհանուր է:

Յուրաքանչյուր գծային ենթատարածություն երկչափ է, այսինքն ՝ հարթություն ծագման միջով (դա գծային տարածություն է, ուստի պարունակում է ծագումը): You could find the equation of the plane generated by the first two vectors and compare it to the plane generated by the two vectors in the second set. They are the same (multiples of each other). How does one do this? Taking cross products! (if you know them - it's very very simple).

Differently still: after realizing that each subspace is 2 dimensional, throw all 5 vectors in a matrix and row reduce. If 2 are left, they're the same. If there are 3 or more, then they are not the same. Along the same lines, one could (though should not, to be honest) proceed with determinants. Form a matrix whose first and second rows are the vectors from the first set, and whose third row is the first vector of the second set. Form another whose third row is the second vector of the second set. Taking determinants, we will see that both determinants are zero! This means that the 3-dimensional volume of these two parallelopipeds is zero, i.e. that they lie flat! If they lie flat, their sides must be linearly dependent, and since both vectors of the second set are dependent in the first set, they span the same subspace.

Differently still: find a vector not spanned in the first set, find the component orthogonal to the first subspace, and dot this orthogonal component with each vector in the second set. You will get 0 both times, meaning that the two subspaces have the same orthogonal complement, and therefore they are the same. Alternatively, take the cross product of the two vectors in the first set and dot the result with each vector in the second set. You will get 0 again, and this does not bear the burden of finding orthogonal complements in any witty or projective fashion.

Differently still: do it heuristically! By rolling a fair 24-sided die (called a deltoidal icositetrahedron) repeatedly, generate a random set of about 9 different points in 3 space. Find the line of best fit and project onto these two spaces. You will get the same projections! After doing this a couple of times, you can expect this to always work! Afterwords, show that as these 9 points are always on lattice points, at least 1 of the 36 segments joining these 9 points contain a lattice point as well. It will sharpen your skills with pigeonholing ideas.

Differently still, and finally: guess. When I TA'd linear algebra, my students would throw everything they could into matrices and row-reduce them, write a few things about rank and nullity, and solve a linear system of equations (whether asked for or not) on every question. Literally, even this one. When they realized that's not what I asked for, they would write a few illegible lines of work, draw a big $Longrightarrow$, and say something like "Clearly, they do not span the same space" or "Obviously, they span the same space." For some other TAs, they'd give partial credit. It at least gave me a laugh.

Seriously though, if you would like to explain any of these further, let me know. They all really do work. And yes, it was quite a yarn. But I've been gone for a couple of weeks, and I had to say hello somehow!


1 պատասխան 1

To assist with your problem, I will describe the general approach, when we don't necessarily know what we're looking for. As you are aware, finding the Killing vectors $X^mu$ requires solving,

$ abla_mu X_ u + abla_ u X_mu = 0$

which is an over-determined system of differential equations. As you know, these Killing vectors are precisely those for which $mathcal L_X g = 0$ and are the infinitesimal generators of isometries of the manifold being described. If you split them into a linearly independent set, $$ you can work out the Lie algebra they generate and sometimes may be able to identify what they are physically.

Alternatively, one can explicitly find the finite form of the transformations they generate by solving the equation for the integral curves of the fields, that is,

where $x^mu(lambda)$ parametrises the integral curve, that is, you can think of it as an embedding function and $X^mu(x)$ is the Killing field, seen as a function of the components $x^mu$.

Choosing the right coordinates often makes the calculation simpler it is certainly desirable to have the metric be diagonal, and well-behaved at as many points as possible.


An embedding is a matrix in which each column is the vector that corresponds to an item in your vocabulary. To get the dense vector for a single vocabulary item, you retrieve the column corresponding to that item.

But how would you translate a sparse bag of words vector? To get the dense vector for a sparse vector representing multiple vocabulary items (all the words in a sentence or paragraph, for example), you could retrieve the embedding for each individual item and then add them together.

If the sparse vector contains counts of the vocabulary items, you could multiply each embedding by the count of its corresponding item before adding it to the sum.

These operations may look familiar.

Embedding lookup as matrix multiplication

The lookup, multiplication, and addition procedure we've just described is equivalent to matrix multiplication. Given a 1 X N sparse representation S and an N X M embedding table E, the matrix multiplication S X E gives you the 1 X M dense vector.

But how do you get E in the first place? We'll take a look at how to obtain embeddings in the next section.

Except as otherwise noted, the content of this page is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 License, and code samples are licensed under the Apache 2.0 License. For details, see the Google Developers Site Policies. Java is a registered trademark of Oracle and/or its affiliates.